Устойчивость решений ОДУ.

Рассмотрим задачу с начальными условиями для системы ОДУ

. (1.29)

Будем полагать, что все собственные значения матрицы A различны.

Тогда существует такая матрица C, что C^-1AC = L, где

, (1.30)

( l_i — i‑е собственное значение матрицы A).

Если ввести замену переменных

,

то из системы (1.29) получаем систему уравнений

, где (1.31)

Таким образом, изучить устойчивость решения системы (1.29) можно с помощью системы (1.31). Более того, устойчивость решения системы дифференциальных уравнений (1.31) можно рассматривать на примере уравнения

, (1.32)

которое называют тестовым.

Предположим, что l = a + jb —постоянная из поля комплексных чисел ( j² = -1). Решение уравнения асимптотически устойчиво, если Re l < 0, устойчиво, если Re l = 0, и неустойчиво, если Re l > 0. ( Re l —реальная часть комплексного числа).

Рассмотрим теперь задачу Коши для системы ОДУ

, (1.33)

где F(x, u) —вектор-функция, F(x, u) = (f₁(x,u),.., f_n(x,u))^T. Качественное исследование решения этой системы вблизи некоторого частного решения u₁(x) можно провести следующим образом. Разложим F(x,u) в окрестности u₁(x) в ряд Тейлора, в результате получим:

Тогда:

, (1.34)

где J(x, u₁) —матрица Якоби. Если изменение J(x, u₁) на некотором интервале x достаточно мало, то J(x, u₁) можно заменить локально постоянной матрицей A. После приведения к главным осям матрица A принимает вид (1.30). Таким образом, и в этом случае исследование устойчивости решения системы (1.33) может быть сведено к исследованию устойчивости решения уравнения (1.32).