Понятие о жестких дифференциальных уравнениях.

Рассмотрим ОДУ

, (1.35)

где A = const. Точное решение этого уравнения:

.

Если A —большая положительная величина, то решение задачи (1.35) неустойчиво. Если A —малая величина, то решение задачи (1.35) нейтрально устойчиво. Если A —большая по модулю и отрицательная величина, то каким бы ни было выбрано u₀ через достаточно малый промежуток, называемый переходным участком (или пограничным слоем), кривая решения становится тождественной кривой частного решения p(x) уравнения (1.35). Эта сверхустойчивость решения дифференциальной задачи является идеальной в смысле распространения наследственной ошибки в дифференциальном уравнении, но она создает ряд трудностей численного интегрирования на ЭВМ. Одна из них состоит в том, что хотя решение (1.36) за пределами переходного участка ведет себя как и функция p(x) и практически не зависит от A (при A < 0), тем не менее из условия устойчивости шаг численного интегрирования приходится выбирать зависящим от A. Чем больше çAç, тем меньше шаг интегрирования (жестче ограничения на него). Такие задачи называют жесткими.

Определение. Задача Коши (I.33) называется жесткой на некотором интервале [x₀, X], если для x из этого интервала выполняются условия:

1) , ;

2) ,

где l_i —собственные значения матрицы Якоби, вычисленные на произвольном частном решении.

Величину s(x) называют локальным “коэффициентом жесткости” задачи. Если s(x) является величиной 0(10), то задачу можно считать жесткой. В ряде прикладных задач (химическая кинетика, процессы управления, теория электрических цепей) коэффициент жесткости достигает величины 0(10⁶).

Это определение “жесткости” системы нам кажется не совсем точным. Действительно, если max Re(-l_i) = 10^-2, а min Re(-l_i) = 10^-8, так что их отношение равно 10⁶, то по определению система является “жесткой”. В то же время такая система позволяет из условий устойчивости выбрать шаг интегрирования порядка 100.

Определение, возможно, надо дополнить словами: большие по модулю собственные значения имеют большую отрицательную часть.