Контрольная работа №1

Тема: Элементы векторной, линейной алгебры

и аналитической геометрии

1 – 10. . Применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса), решить систему линейных уравнений.

11 – 20. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.

21 - 30 Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4.

7) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 ;

8) площадь грани А1А2А3 ;

9) объем пирамиды ;

10) уравнения прямой А1А2 ;

11) уравнение плоскости А1А2А3 ;

12) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 .

Сделать чертеж.

21. А1 (4; 2; 5), А2 (0; 7; 2), А3 (0; 2; 7), А4 (1; 5; 0) .

22. А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 4) .

23. А1 (4; 6; 5), А2 (6; 9; 4), А3 (2; 10; 10), А4 (7; 5; 9) .

24. А1 (3; 5; 4), А2 (8; 7; 4), А3 (5; 10; 4), А4 (4; 7; 8) .

25. А1 (10; 6; 6), А2 (-2; 8; 2), А3 (6; 8; 9), А4 (7; 10; 3) .

26. А1 (1; 8; 2), А2 (5; 2; 6), А3 (5; 7; 4), А4 (4; 10; 9) .

27. А1 (6; 6; 5), А2 (4; 9; 5), А3 (4; 6; 11), А4 (6; 9; 3) .

28. А1 (7; 2; 2), А2 (5; 7; 7), А3 (5; 3; 1), А4 (2; 3; 7) .

29. А1 (8; 6; 4), А2 (10; 5; 5), А3 (5; 6; 8), А4 (8; 10; 7) .

30. А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1) .

31-40 Приведите к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Установите тип этих линий и их расположение:

31). 3x2 + 2xy + 3y2 + 4x + 4y – 4 = 0;

32). 16x2 – 24xy +9y2 + 25x – 50y + 50 = 0;

33). xy + 3x – 3y – 9 = 0;

34). 3x2 – 4xy + 4 = 0;

35). x2 + 4xy +4y2 – 9 = 0;

36). 4xy + 9 = 0;

37). x2 + 6xy + y2 + 6x + 2y – 1 = 0;

38). 8x2 + 4xy +5y2 + 16x + 4y – 28 = 0;

39). 2x2 + 4x – y – 1 = 0;

40). y2 – 2x + 4y + 2 = 0.

41-50. Линия задана уравнением r = r (j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от j = 0 до j=2p и придавая j значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

51 Какую поверхность определяет уравнение

а).

б).

52 Какую поверхность определяет уравнение

а).

б).

53 Какую поверхность определяет уравнение

а).

б).

54 Какую поверхность определяет уравнение

а).

б).

55 Какие поверхности определяют уравнения

а).

б).

56 Какая линия изображается системой уравнений

57 Какую линию определяет система уравнений

58 Какая линия определяется системой уравнений

59 Какая линия определяется уравнениями

60 Окружность вращается вокруг оси Ох. Найти уравнение поверхности вращения (сферы).

61 – 70. Дана матрица А. Найти матрицу А-1 обратную данной. Сделать проверку, вычислив произведение А А-1 . Решить задачу, воспользовавшись определением обратной матрицы.