>>

§1. Натуральные, целые и рациональные числа

Известные нам числа 1, 2, 3... называются натуральными. Их используют для счета или обозначения количества предметов, например: один юрист, два юриста и т. д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок предметов.

Например, если всех милиционеров в отделении выстроить по росту, то каждому из них можно присвоить номер: первый милиционер, второй милиционер и т. д. Поэтому различают количественные числа — один, два, три, четыре..., и порядковые числа — первый, второй, третий...

Чтобы записывать натуральные числа, большие десяти, мы пользуемся так называемой десятичной позиционной системой. Слово «позиционная» означает, что значение цифры зависит от ее места, например:

147= 1 • 100 + 4 • 10 + 7 1,

714 = 7-100 + 1 -10 + 4-1,

471 = 4 • 100 + 7 • 10 + 1 • 1.

Слово «десятичная» означает, что используются степени десятки. В другой системе, например, пятиричной, содержащей всего пять цифр 0, 1, 2, 3, 4, числовая позиционная запись расшифровывается так:

143 = 1 • 52 + 4 - 6 + 3 • 1;

в двоичной системе, содержащей всего две цифры 0 и 1, мы получим:

1 011 001 = 1 • 26 + 0 • 25 + 1 - 24 + 1 • 23 + + 0-22+ 0-2 + 1-1.

Натуральные числа можно, как известно, складывать, вычитать, умножать и делить. Однако эти операции неравноценны. Очевидно, что сумма а + b любых двух натуральных чисел а и b снова будет натуральным числом; то же самое можно сказать и о произведении аb. При этом порядок слагаемых и сомножителей не играет роли, т.е. a + b = b + a иab = bа.

Что же касается операций вычитания и деления, то здесь ситуация иная. Например, разность 5-2 = 3 — число натуральное, но натурального числа 2 - 5 не существует. В последнем случае используют так называемые отрицательные числа и записывают 2-5 =-3, 4-10 =-6 и т.п. Числа а и -а называются противоположными.

Между натуральными числами и целыми отрицательными числами находится число 0 (нуль).

Его рассматривают как количественное число; нуль предметов данного вида (например, попугаев в Антарктиде) означает отсутствие предметов данного вида. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что множество попугаев, проживающих в Антарктиде, есть пустое множество. Нуль обладает следующими свойствами:

1) а + 0 = а;

2) а + (-а) = 0;

3) на нуль делить нельзя.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и число нуль называются в совокупности целыми числами. Множество всех натуральных чисел обозначается символом N, множество всех целых чисел — символом Z. Наглядно целые числа представляют точками на прямой (шкала термометра):

В отличие от множества натуральных чисел, множество целых чисел устроено более «демократично»: любые два целых числа можно вычитать друг из друга и результат вычитания всегда будет также целым числом. Математики говорят, что множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, и что это множество получено расширением множества натуральных чисел.

Потребность расширить множество натуральных чисел возникает и при делении. Например, семь милиционеров нельзя разделить на четыре равные части — такого количества милиционеров 7/4 не существует. Но мы вполне можем разделить семь миллионов рублей на четыре равные части. Это число (1 миллион 750 тысяч) составляет 7/4 от общей суммы. Аналогичный смысл имеет обозначение , где а и Ъ — любые натуральные или даже целые числа (b?0). Числа вида называются обыкновенными дробями или рациональными числами. Множество всех рациональных чисел обозначается символом Q.

Целое число а можно записать как дробь а/1, поэтому целые числа входят как часть во множество рациональных чисел. В этом случае говорят, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел. Точно так же, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел.

Записывается это следующим образом:

N Ì Z Ì Q,

а знак «Ì» читается так: «содержится в», «является подмножеством» или «является частью». Заметим, что во множестве рациональных чисел «равноправия» еще больше, чем во множестве целых чисел: любые два рациональных числа можно не только вычитать друг из друга, но можно и делить одно на другое (кроме деления на нуль!); при этом в результате указанных действий всегда будут получаться снова рациональные числа. Таким образом, множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на простые и составные. Натуральное число называется составным, если оно представляет собой произведение двух натуральных чисел, не равных единице, например: 4 = 2-2, 39 = 3 • 13, 111 = 3 • 37. Если натуральное число нельзя представить в виде такого произведения, то оно называется простым, например: 2, 3, 5, 7, 11.

Простые числа играют в математике особую роль. В их жизни много загадочного, и математики, стремясь разгадать эти тайны, открыли (и продолжают открывать до сих пор!) интереснейшие свойства простых чисел, придумали оригинальные математические методы исследования, которые применяются не только в теории чисел, но и в других разделах математики.

Древнегреческий математик Эратосфен предложил способ получения простых чисел, который называется решетом Эратосфена. Представим себе ряд натуральных чисел:

Отметим (кружком) простое число 2 и затем вычеркнем все четные числа (или, как говорят, числа, кратные двум). Согласно определению, вычеркнутые числа не являются простыми, так как делятся на два и их можно записать в виде 2k. Затем отметим простое число 3 и вычеркнем все числа, кратные трем: 3, 6, 9, 12 и т.д. Эти числа не простые, а составные, так как их можно записать в виде 3k. Часть этих чисел, а именно четные, уже вычеркнута (на рис.

2 они зачеркнуты два раза). Следующее наименьшее незачеркнутое число — 5, оно простое. Выделим его, а затем вычеркнем все числа, кратные пяти: 10, 15, 20 и т.д. В результате останутся незачеркнутыми только простые числа.

Заметим, что осуществить описанную процедуру полностью практически невозможно, так как множество натуральных чисел бесконечно. Но мы можем, пользуясь решетом Эратосфена, найти «вручную» все простые числа, например, в первой тысяче натуральных чисел. Современные компьютеры позволили отодвинуть эту границу до 1020. Принципиально, возможности ЭВМ здесь не ограничены.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите такое число х, что для любого числа а выполняется равенство ха = а.

2. Вспомните, что такое четные и нечетные числа. Назовите все четные простые числа.

3. Будет ли множество четных чисел замкнуто отно­сительно операций сложения, вычитания и умножения?

4. Назовите наименьшее натуральное число.

5. Сравните дроби: и ; и ; и ; и .

6. Вспомните, что такое среднее арифметическое двух, трех или нескольких чисел. Найдите среднее арифметическое следующих чисел:

а) 1 и 2; б) -3 и 5; в) и ; г) и 3; д) , и ; е) , и

7.

Покажите, что следующие числа являются простыми:

2-3 + 1; 2-3-5 + 1; 2 • 3 • 5 • 7 + 1; 2 • 3 • 5 • 7 • 11 + 1.

Попробуйте предсказать общий результат.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

1. Выполните следующие арифметические действия:

§ 2. Десятичные дроби и действительные числа

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, т.е. 10, 102 = 100, 103 = 1000 и т.д., называются десятичными дробями. Записываются они особым образом:

; 1; 2

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде десятичной дроби приводит иногда к бесконечной десятичной дроби. Например, разделив «уголком», мы получим: •

=0,333...; =0,90909...;

Как видно, получающаяся бесконечная последовательность цифр содержит так называемый период — один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому полученные десятичные дроби называют бесконечными периодическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере.

Пример. Превратим в обыкновенные дроби числа q = 0,777... и р = 0,999...

Умножив на 10, получаем:

1) 10q = 7,777... = 7 + q, откуда 9q = 7 и q = .

Проверьте результат, превратив 7/9 в десятичную дробь.

2)10р = 9,999... = 9 + р, откуда 9р = 9 и р = 1. Заметим, что 1 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом 0: 1,000...; аналогично, 0,24 = = 0,24000..., 3,5 = 3,5000...

и т.п.

УПРАЖНЕНИЯ

8. С помощью калькулятора и «вручную» превратите данную обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите период: , , , . .

9. Превратите бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 1,888...; 0,1212...; 0,444...

Решив эти примеры, каждый будущий юрист задаст себе вопрос: а имеют ли смысл бесконечные непериодические десятичные дроби?

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, длина катетов которого равна единице. Обозначим длину гипотенузы через х. По теореме Пифагора

X2=12 + 12 = 2. (1)

Докажем, что корни этого уравнения не являются рациональными числами. В самом деле, предположим противное, т.е. что корнем уравнения (1) является дробь х = (a и b — целые числа). Если дробь можно сократить, сделаем это, и будем полагать далее, что дробь является уже несократимой.

Подставляя в уравнение (1), получим = 2 или

a2 = 2b2 (2)

Так как в правую часть равенства (2) входит множитель 2, то а2 — число четное. Следовательно, число а также четное и его можно записать в виде а = 2с. Подставив в (2), получим (2с)2 = 2b2 или, сократив на 2, 2с2 = b2. Отсюда следует, что число b2 также является четным. Но тогда четным будет и число b. Теперь, поскольку оба числа а и bполучились четными, дробь является сократимой. Это противоречит сделанному выше предположению, что дробь — несократимая. Противоречие возникло вследствие того, что в самом начале было сделано неверное предположение — корнем уравнения (1) является рациональное число — дробь . Следовательно, никакая дробь не может быть корнем уравнения (1), что и требовалось доказать.

Результат наших рассуждений можно сформулировать иначе: квадратный корень из числа 2 не является рациональным числом, т.е. бесконечной периодической десятичной дробью.

Будем искать приближенные значения числа х = . Ясно, что 1 < х < 2. Далее, так как 1,42 = 1,96 < 2 = х2, а 1,52 = 2,25 > 2 = х2, то 1,4 < х < 1,5. Это означает, что с точностью до 0,1 число х приближенно равно 1,4, (я » 1,4). Аналогично устанавливаем, что 1,41 < х < 1,42, так как 1,412 < 2, а 1,422 > 2. Следовательно, с точностью до 0,01 получаем х » 1,41. Применив еще раз тот же прием, найдем, что 1,414 < х < 1,415, т.е. х » 1,414, и т.д.

Описанная процедура позволяет находить все более точные приближения числа . Но ни одно из этих приближений не может быть равным , так как все приближенные значения являются рациональными числами, а мы доказали, что не является рациональным числом. Поэтому последовательность приближенных значений будет бесконечной.

Итак, число представляется в виде бесконечной последовательности приближенных значений. Каждое последующее значение получается добавлением к предыдущему нового десятичного знака. Это позволяет записать в виде бесконечной десятичной дроби:

=1,414213662373...

Описанным способом можно находить десятичные приближения любого числа. Для обыкновенных дробей — это просто деление уголком (cм. выше), которое приводит к бесконечным периодическим дробям. Поскольку число не является рациональным, то представляющая его бесконечная десятичная дробь не будет периодической. Таким образом мы приходим к понятию бесконечной непериодической десятичной дроби.

Для чисел вида , а Î N также имеются процедуры, позволяющие найти любое число знаков в их десятичной записи. Один из таких алгоритмов мы приводим ниже без описания: Это ребус посложнее, чем деление «уголком». Попробуйте его разгадать.

=1,414... =2,236...

1
24

´4

100

– 96

42

´ 2

100

–84

281

´1

400

–281

443

´ 3

1600

–1359

2824

´ 3

11900

–11296

4466

´ 6

27100

–26796

... ... ... ...

Найдите еще несколько знаков и проверьте результат с помощью калькулятора.

Заметим, что всякую бесконечную десятичную дробь можно записать в виде суммы бесконечного числа слагаемых:

= 0,333... = + + + ...;

= 1 + + + + ...

Такие суммы называются рядами. Первый ряд представляет собой так называемую бесконечную геометрическую прогрессию, с которой, возможно, Вы познакомились в школе. Второй ряд прогрессией уже не является. В школе Вы решали квадратные, кубические и биквадратные уравнения. Их корни выражаются через радикалы второй, третьей или четвертой степени. Например, уравнение х3 = 5 имеет корень х = , уравнение 2х2 = 3 — корни х = и х = –. Корни квадратного уравнения

ах2 + bх + с = 0

вычисляются по формуле

В школьных учебниках числа а, b и с обычно подбирают так, чтобы под корнем получался квадрат целого числа. Но, если коэффициенты уравнения не подбирать специально, то корни х1 и х2 будут, вообще говоря, бесконечными непериодическими десятичными дробями. Наиболее общий результат формулируется так: корень любого алгебраического уравнения

а0хп + a1xn–1 + а2хп -2 + ... + ап-1 + ап = 0 (3)

степени п с целыми коэффициентами (если этот корень существует!) является, вообще говоря, бесконечной непериодической десятичной дробью.

Помимо алгебраических уравнений, существуют другие источники получения бесконечных непериодических десятичных дробей.

Определим два очень важных числа. Первое из них — число p, равное отношению длины I произвольной окружности к ее диаметру d:

Это число известно с глубокой древности. Вавилонские, египетские, китайские и греческие математики нашли различные приближенные значения числа p:

3, 4, , , ,

и другие. Рассматривая вписанные в окружность правильные 2n-угольники, Архимед умел вычислять p с большой точностью. В частности, он нашел, что

< п <

Лейбниц доказал, что число п можно представить в виде следующего ряда:

(4)

(Заметьте, что дроби в правой части не являются десятичными.) Этот ряд позволяет находить приближенные значения числа п. Например, мы можем переписать равенство (4) так:

В скобках стоят положительные числа. Поэтому, «отбросив» их, мы увеличиваем правую часть:

5. Описанное правило сравнения работает при одном (и единственном) соглашении: не рассматривать периодические дроби с периодом 9. При этом множество действительных чисел, образно говоря, не сузится, т.к. всякую бесконечную периодическую дробь с периодом 9 можно заменить равной ей конечной десятичной дробью, например: 0,999... = 1, 0,42999... = 0,43, 2,65999... = 2,66 и т.п. (см. пример на с. 15).

Напомним свойства операций сложения и умножения действительных чисел:

переместительность или коммутативность:

а + b = b + а;

сочетательность или ассоциативность (для сложения):

(а + b) + с = а + (b + с);

сочетательность или ассоциативность (для умножения):

(аb)с = а(bс);

распределительность или дистрибутивность: а(b + с) = ab + ас.

Числовые множества N, Z, Q, R являются примерами так называемых числовых систем, которые имеют специальные названия. Например, говорят кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле действительных чисел.

ПРАВИЛО ОКРУГЛЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Поясним на примере. Следующие десятичные дроби мы округляем до сотых долей:

0,811 » 0,81, 0,812 » 0,81, .... 0,814 » 0,81,

0,815 » 0,82, 0,816 » 0,82, .... 0,819 » 0,82.

УПРАЖНЕНИЯ

10. Вычислите с помощью калькулятора и округлите до тысячных:

, , , , , , , , ,

11. Найдите 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, 8!, 9!, 10!.

12. Расставьте правильно знаки > или Округлите числа p и е до тысячных.

14. Решите линейное уравнение 3х: – 2 = 0, запишите ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлите его до сотых.

15. Решите неравенство 3х + 7 > 0, запишите ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлите его до сотых.

| >>
Источник: Неизвестный. Математика. 0000

Еще по теме §1. Натуральные, целые и рациональные числа:

  1. Развитие научного знания
  2. ЛЮДВИГ ФЕЙЕРБАХ КАК ИСТОРИК ФИЛОСОФИИ
  3. ЧЕЛОВЕК И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ В ФИЛОСОФСКОЙ КОНЦЕПЦИИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО
  4. ПРЕДНАУКА И НАУКА
  5. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  6. Приложение I (для коммунистов): "Перлы" диалектики марксизма
  7. Комплексные числа.
  8. 1.1.6. Рациональные числа
  9. 2.3. Арифметический корень n-й степени
  10. §1. Натуральные, целые и рациональные числа
  11. Введение
  12. Исследования о происхождении некоторых основныхидей современной математики.
  13. Виды чисел: наука и эзотеризм
  14. Однозначные числа