<<
>>

Основные трансцендентные функции.

Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.

Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

См. Представление функций по формуле Тейлора.

Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.

Также справедливы равенства:

Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.

Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.

Пример.

Найти sin(1+2i).

Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.

Если w = u + iv, то и Arg ew = = v.

Тогда eu = .

Итого:

Для комплексного числа z = a + ib

Определение. Выражение называется главным значением логарифма.

Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Основные трансцендентные функции.:

  1. О ФОРМЕ ДУШ
  2. Основные направления и течения русской литературно общественной мысли второй четверти XIX в.
  3. § 52. Дополнения. Физическая вещь и «неведомая причина явлений»
  4. 4.11. Основные принципы нормальной (невырожденной) гносеологии  
  5. § 40. Антропологизм в логике Б. Эрдманна
  6. Глава XV.ОТЕЦ СЕРГИЙ БУЛГАКОВ
  7. ОСНОВНЫЕ МОДУСЫ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО БЫТИЯ
  8. Проблемы онтологии Субстанция и бытие
  9. 11.4. Имманентное и трансцендентное в представлениях о Хаосе
  10. ЛЕКЦИЯ 2. Основные этапы развития общей теории права и   государства в России.
  11. Основные трансцендентные функции.
  12. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
  13. 2. Основные современные модели философского мышления