Основные трансцендентные функции.

Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.

Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

См. Представление функций по формуле Тейлора.

Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.

Также справедливы равенства:

Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.

Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.

Пример.

Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.

Если w = u + iv, то и Arg ew = = v.

Тогда eu = .

Итого:

Для комплексного числа z = a + ib

Определение. Выражение называется главным значением логарифма.

Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид: