<<
>>

1.3. Понятие действительного числа

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел и обозначаются буквой R .

Таким образом, действительное число обозначает число либо рацио­нальное, либо иррациональное.

Два действительных числа называются противоположными. Все соответствующие цифры в их записи одинаковы: отличие только в знаке.

Два положительных действительных числа

считаются равными: х = у, если а0 = bо, а1 = b1, а2 = b2, а3 = b3…и т.д.

Два отрицательных действительных числа равны, если равны противоположные им числа.

Из двух положительных действительных чисел ,

число х больше числа у (или у меньше х): х > у (или у < х),

если а0 > bо либо а0 = bо, но а1 > b1,, либо если а0 = bо и а1 = b1, а2>b2 и т.д.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого противоположное (положительное) число меньше. Положительное число больше нуля и любого отрицательного числа. Нуль больше любого отрицательного числа.

Согласно этим определениям для любых действительных чисел х имеет место и притом только одно из соотношений: х = у, х > у, х < у.

Пример. Сравнить числа -2,7 и -2, (7).

Решение.

Так как: -2,7 = -2,700 .... -2,(7) = -2,777 ...и 2,700 ... < 2,777 ..., то -2,7 > -2,(7).

Каждое действительное число, заданное бесконечной десятичной дробью можно приближенно заменить конечной десятичной дробью.

Например, для числа 1,2(34) конечные десятичные дроби 1,2; 1,23; 1,234; 1,2343; 1,23434; ... являются приближением этого числа с недостатком. Дроби 1,3; 1,24; 1,235; 1,2344; 1,23435;... дают приближение числа 1,2(34) с избытком.

Для числа -0,1234567 .

. . конечные десятичные дроби -0,1; -0,12; -0,123; -0,1234; -0,12345;... являются приближением этого числа с избытком. Дроби: -0,2; -0,13; -0,124, -0,1235; -0,12346; ... дают приближение числа -0,1234567 ... с недостатком.

Определение. Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозна­чается [х].

Например, [27,2] = 27, [0,54] = 0, [-3] = -3, [-4,6] = -5.

Если х – целое число, то [х] = х. Если х – не целое число, то [х] < х;

в этом случае число х заключено между двумя последовательными целыми числами: [х] < х < [х] + 1. Таким образом, при любом х верно неравенство

[х] < х < [х] +1.

Определение. Дробной частью действительного числа х называется разность между числом х и его целой частью. Дробная часть числа х обозначается {х}. Таким образом, {х} = x- [х].

Например,

{27,2} = 27,2 - [27,2] = 0,2; {0,54} = 0,54 - [0,54] = 0,54; {-3} = -3 - [-3] = 0; {-4,6} = - 4,6 - [- 4,6] = - 4,6 - (-5) = 0,4.

Так как [х] ≤х < [х] + 1, то 0 ≤x≤ - [х] < 1, т.е. при любом x верно неравенство 0 ≤{х} < 1. Дробная часть числа есть неотрицательное число,

меньшее 1.

Согласно определению дробной части числа {х} = х - [х]. Отсюда х = [х] + {х}, т.е. любое число можно представить в виде суммы его целой и дробной частей. Например,

27,2 = 27+0,2; 0,54 = 0 + 0,54; -3 =-3 + 0; -4,6 = -5+0,4.

<< | >>
Источник: А.И. Колосов. Пособие по математике (для дополнительных занятий со студентами 1 курса дневной формы обучения всех специальностей, а также с иностранными студентами). Под ред. проф. А.И. Колосова.– Харьков: ХНАГХ, 2005. – 80 с.. 2005

Еще по теме 1.3. Понятие действительного числа:

  1. § 55. Комплексные числа
  2. Определение понятия
  3. Деление и классификация понятий
  4. ЧИСЛО И РАЗЛИЧИЕ
  5. Классы понятий и отношение между понятиями
  6. § 2. Сущность и виды юридического понятия
  7. § 3. Логическая характеристика юридических понятий
  8. Комплексные числа.
  9. ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
  10. 1.3. Понятие действительного числа
  11. 1.5. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
  12. Приложение. Об амфиболии рефлективных понятий, происходящей от смешения эмпирического применения рассудка с трансцендентальным
  13. Примечание [Обычные виды понятий]
  14. 8а. Место понятий
  15. §1. Натуральные, целые и рациональные числа
  16. 1. Виды понятий по их содержанию