1.3. Понятие действительного числа

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел и обозначаются буквой R .

Таким образом, действительное число обозначает число либо рацио­нальное, либо иррациональное.

Два действительных числа называются противоположными. Все соответствующие цифры в их записи одинаковы: отличие только в знаке.

Два положительных действительных числа

считаются равными: х = у, если а0 = bо, а1 = b1, а2 = b2, а3 = b3…и т.д.

Два отрицательных действительных числа равны, если равны противоположные им числа.

Из двух положительных действительных чисел ,

число х больше числа у (или у меньше х): х > у (или у < х),

если а0 > bо либо а0 = bо, но а1 > b1,, либо если а0 = bо и а1 = b1, а2>b2 и т.д.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого противоположное (положительное) число меньше. Положительное число больше нуля и любого отрицательного числа. Нуль больше любого отрицательного числа.

Согласно этим определениям для любых действительных чисел х имеет место и притом только одно из соотношений: х = у, х > у, х < у.

Пример. Сравнить числа -2,7 и -2, (7).

Решение.

Так как: -2,7 = -2,700 .... -2,(7) = -2,777 ...и 2,700 ... < 2,777 ..., то -2,7 > -2,(7).

Каждое действительное число, заданное бесконечной десятичной дробью можно приближенно заменить конечной десятичной дробью.

Например, для числа 1,2(34) конечные десятичные дроби 1,2; 1,23; 1,234; 1,2343; 1,23434; ... являются приближением этого числа с недостатком. Дроби 1,3; 1,24; 1,235; 1,2344; 1,23435;... дают приближение числа 1,2(34) с избытком.

Для числа -0,1234567 .

Определение. Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозна­чается [х].

Например, [27,2] = 27, [0,54] = 0, [-3] = -3, [-4,6] = -5.

Если х – целое число, то [х] = х. Если х – не целое число, то [х] < х;

в этом случае число х заключено между двумя последовательными целыми числами: [х] < х < [х] + 1. Таким образом, при любом х верно неравенство

[х] < х < [х] +1.

Определение. Дробной частью действительного числа х называется разность между числом х и его целой частью. Дробная часть числа х обозначается {х}. Таким образом, {х} = x- [х].

Например,

{27,2} = 27,2 - [27,2] = 0,2; {0,54} = 0,54 - [0,54] = 0,54; {-3} = -3 - [-3] = 0; {-4,6} = - 4,6 - [- 4,6] = - 4,6 - (-5) = 0,4.

Так как [х] ≤х < [х] + 1, то 0 ≤x≤ - [х] < 1, т.е. при любом x верно неравенство 0 ≤{х} < 1. Дробная часть числа есть неотрицательное число,

меньшее 1.

Согласно определению дробной части числа {х} = х - [х]. Отсюда х = [х] + {х}, т.е. любое число можно представить в виде суммы его целой и дробной частей. Например,

27,2 = 27+0,2; 0,54 = 0 + 0,54; -3 =-3 + 0; -4,6 = -5+0,4.