Проверка найденного опорного решения на оптимальность

Найденное исходное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов по следующему критерию: если опорное решение транспортной задачи является оптимальным, то ему соответствует система т + п действительных чисел ui и vj, удовлетворяющих условиям ui + vj = cij для занятых клеток и ui + vj – сij ≤ 0 для свободных клеток.

Числа ui и vj называют потенциалами. В распределительную таблицу добавляют строку vj и столбец ui.

Потенциалы ui и vj находят из равенства ui + vj = cij, справедливого для занятых клеток. Одному из потенциалов дается произвольное значение, например и1 = 0, тогда остальные потенциалы определяются однозначно. Так, если известен потенциал ui, то vj = сij — ui; если известен потенциал vj, то ui = cij – vj.

Обозначим Δij = ui + vj – cij. Эту оценку называют оценкой свободных клеток. Если Δij ≤ 0, то опорное решение является оптимальным. Если хотя бы одна из оценок Δij > 0, то опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить, перейдя от одного опорного решения к другому.

Проверим найденное опорное решение на оптимальность, добавив в распределительную таблицу столбец ui и строку vj.

Полагая u1 = 0, запишем это значение в последнем столбце таблицы.

Рассмотрим занятую клетку первой строки, которая расположена в первом столбце (1,1), для нее выполняется условие и1 + v1 = 2, откуда v1 = 2. Это значение запишем в последней строке таблицы. Далее надо рассматривать ту из занятых клеток таблицы, для которой один из потенциалов известен.

Рассмотрим занятую клетку (3,1): и3 + v1 = 3, v1 = 2, откуда и3 = 1.

Для клетки (3,3): и3 + v3 = 8, и3 = 1, v3 = 7.

Для клетки (2,3): и2 + v3 = 5, v3 = 7, и2 = –2.

Для клетки (2,2): u2 + v2 = 1, и2 = –2, v2 = 3.

Найденные значения потенциалов заносим в таблицу.

Вычисляем оценки свободных клеток:

Получили одну оценку Δ13 = 5 > 0, следовательно, исходное опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить.