<<
>>

7.9. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений

Оптимальное решение задачи линейного программирования существенно зависит от реальной экономической ситуации, складывающейся на предприятии. На решение задачи могут повлиять следующие экономические ситуации:

изменение запасов ресурсов;

внедрение нового технологического способа производства, позволяющего снизить расход сырья А и В]

произошедшие изменения в ценовой политике на предприятии;

предполагается выпуск нового вида продукции.

Результаты влияния данных экономических ситуаций на оптимальное решение можно получить в ходе проведения экономико- математического анализа модели на чувствительность.

Анализ на чувствительность оптимального решения базируется на следующих свойствах двойственных оценок.

Двойственные оценки характеризуют дефицитность ресурсов.

Величина Uj в оптимальном решении двойственной задачи является оценкой /-го ресурса; чем больше значение оценки uh тем выше дефицитность ресурса. Для недефицитного ресурса и, = 0.

Двойственные оценки показывают, как влияют изменения правой части ограничений (запасов ресурсов) на значение целевой функции. Практический интерес представляют границы (нижняя и верхняя) изменения ресурсов, в которых величины оценок остаются неизменными.

Двойственные оценки являются показателем эффективности производства отдельных видов продукции с ПОЗИЦИИ критерия оп-тимальности. С этой точки зрения в оптимальный план может быть включена лишь та продукция у-го вида, для которой выполняется условие

т

X aijui - cj >

/=1

где Uj — оптимальное значение двойственной оценки /-го ресурса;

ау — технологические коэффициенты;

Cj — доход, получаемый с единицы продукции у-го вида;

т — количество видов ресурсов.

ственной задач, т. е. Zmax¦ = Zmin (подразд. 7.8). Это означает, что оценка всех затрат производства должна равняться оценке произведенного продукта.

Используя данные свойства двойственных оценок, проведем анализ изменений исходной задачи, которые могут привести к недопустимости и неоптимальности решения.

Обратимся к конкретной задаче и проиллюстрируем применение анализа оптимального решения на чувствительность на примере задачи оптимизации ассортимента выпускаемой продукции (пример 7.2).

Составим математические модели прямой и двойственной задач.

прямая задача: максимизировать доход

Зла* = 3*! + 4Х2 (7.65)

при ограничениях

2хх + Зх2 < 9 (сырье А);

3*! + 2х2< 13 (сырье В); (7щ

х{ — х2 < 1 (спрос);

х2< 2 (спрос);

хх\ х2 > 0; (7.67)

двойственная задача: минимизировать

Anin = 9«i + 13 и2 + иъ + 2 и4 (7.68)

при ограничениях

2их + 3и2 + и3 > 3; (7.69)

3Wj + 2и2 — и3 + м4 > 4;

их\ и2у w3; иА > 0. (7.70)

Установив соответствие между переменными обеих задач и решая задачи симплекс-методом, запишем итоговую таблицу с оптимальным решением (табл.

7.26).

В таблице vl5 v2 — выравнивающие переменные двойственной задачи; х3, х4, х5, х6 — выравнивающие переменные прямой задачи; щ — двойственная оценка /-го ресурса (/ = 1, 4).

Итоговая таблица Б* "1 Amin с* С свободные Б *3 *5 члены -V, 0,2 0,6 2,4 -и2 *4 -1 -1 3 -иА *6 —0,2 0,4 0,6 -v2 *2 0,2 -0,4 1,4 Свобод z 1,4 0,2 12,8 ные члены

Изменение запасов ресурсов. Значение двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы значение целевой функции, если бы объем данного ресурса (запас) увеличился на 1 ед. На основе вышеизложенных свойств двойственных оценок можно записать следующее:

AZ=w/.AA/, (7.71)

где щ — двойственная оценка /-го ресурса;

Abj — приращение /-го ресурса;

AZ — изменение целевой функции.

В нашем примере увеличение сырья А на 1 ед. привело бы к росту Zmax на 1,4 ед. (AZ= и{ . АЬ{ = 1,4 • 1 = 1,4).

Двойственная оценка для недефицитного ресурса равна нулю, так как ресурс используется не полностью и увеличение его запасов (Abj) не повлияет на оптимальное решение. В нашем примере и2 = и4 = следовательно, ресурсы 2 и 4 недефицитные. Избыток ресурса 2 (сырья В) составляет 3 ед. (х4 = 3 ед.), а ресурса 4 - 0,6 ед. (х6 = 0,6 ед.).

Используя аналитическое выражение (7.71), мы можем выявить только направление деятельности по устранению «узких» м,ест, обеспечивающее наибольшее изменение целевой функции. Это изменение определяется величиной Uj и может быть установлено лишь тогда, когда при изменении величин bj значения переменных м,, соответствующих двойственной задаче, в оптимальном плане остаются неизменными. В связи с этим необходимо определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ли- нейных ограничении, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Предельные оценки Abt нижнего и верхнего прироста запасов /-го ресурса можно определить по следующим формулам:

(7.72)

A^H)=minдля dki > 0; к [dki.

А *<в> =

(7.73)

к [dki

для dki < 0,

где jty - значение к-ih базисной переменной из оптимального решения; dki— элементы обратной матрицы коэффициентов при базисных переменных.

Элементы обратной матрицы dki находятся в итоговой симплекс-таблице (табл.

7.26). Определим по формулам (7.72)—(7.73) возможные пределы изменения запасов ресурса 1, при которых двойственные оценки не изменяются.

А Л

, для dki > 0;

fH)=min{-

к\

к [di

«н^нм-*

З 0,6

At>i =

= 3.

max

max

-Г-0,2

х4 . х6 d4\ ' d6l

Интервал устойчивости оценок по отношению и изменению ресурса 1 будет равен:

[Ьх - Ьхн; Ъх + Ьхв] = [9 - 7; 9 + 3] = [2; 12].

Возможные пределы изменения запасов дефицитного ресурса 3, при которых двойственные оценки не изменяются, определяются следующим образом:

A b? = max- *4 . ii d43 5 7.1. max

З . 1,4

-1' -0,4

= 3,5.

Интервал устойчивости оценок по отношению к изменению ресурса 3 (соотношение спроса на продукцию П{ и П2) будет равен:

[b3 - А/>з"; Ъъ + ЬЬ{\ = [1 - 1,5; 1 + 3,5] = [- 0,5; 4,5].

Недефицитный ресурс (2 и 4) используется в производстве не полностью, поэтому верхняя граница интервала устойчивости определяется однозначно исходными данными (Ь2 = 13; й4 = 2). Ниж-нюю границу устойчивости можно определить, используя данные табл. 7.24, учитывая, что ненулевые выравнивающие переменные, вошедшие в базис, характеризуют величину избытка недефицитного ресурса. В нашем примере избыток недефицитного ресурса будет равен:

АЬ2 = Х4 = 3 И А= х6 = 0,6.

Тогда интервалы устойчивости оценок по отношению к изменению ресурсов 2 и 4 вычисляются следующим образом:

для ресурса 2:

[Ь2 - АЬ2Н; Ь2] = [13 - 3; 13] = [10; 13];

для ресурса 4:

[Z>4-AZ>4w; b4] = [2 - 0,6; 2] = [1,4; 2].

Так как изменения ресурсов находятся в пределах устойчивости оценок, то их раздельное влияние на величину доходов AZ, тах определяется произведением оценки Uj и величины АЬ{.

AZlmax= 1,4- [12-2] = 14;

AZ2max = 0.[13-10] = 0;

AZ3max = 0,2.[4,5-(-0,5)] = l;

AZ4max = 0- [2- 1,4] = 0.

Суммарное возможное увеличение оптимального значения функции составит:

AZmax = и{ • АЪхв + иъ • АЪ{ = 1,4 • 3 + 0,2 • 3,5 = 4,9 д.

е.

Здесь можно определить также целесообразность дополнительного приобретения дефицитного ресурса, используя четвертое свойство двойственных оценок. Например, определить, выгодно ли приобретать дополнительно ресурс 1 (сырье А) в размере 2 ед. по цене сг = 0,5 д. е. за 1 ед. ресурса.

Приращение ресурса 1 на величину АЬх = 2 ед. находится в пределах устойчивости двойственных оценок. Следовательно, AZmax = = Abi . Wj = 2 . 1,4 = 2,8 ед., в то время как затраты на приобретение 2 ед. ресурса 1 вида составляют:

Ас = АЬ{ • сх = 2 • 0,5 = 1 д. е.

Поскольку величина дополнительных доходов (AZmax) больше дополнительных затрат, закупать ресурс 1 в размере 2 ед. по цене Cj = 0,5 д. е. целесообразно.

Необходимо подчеркнуть, что изменение правых частей ограничений может повлиять только на элементы правой части симплекс-таблицы и, следовательно, на допустимость самого решения. Поэтому, нужно при ВСЯКОМ изменении Abi в исходных условиях проводить расчеты новых значений элементов правой части симплекс-таблицы.

Внедрение нового технологического способа производства. Новый технологический способ производства предполагает либо выпуск нового вида продукции, либо изменение технологических коэффициентов, стоящих в левой части ограничений. Для определения эффективности внедряемого нового технологического способа с успехом могут быть использованы двойственные оценки.

Согласно третьему свойству двойственных оценок в оптимальный план включается новая продукция у-го вида, для которой выполняется условие

т

la^KCj. (7.74)

/=1

Оценим целесообразность введения в оптимальный план задачи (7.65 — 7.67) продукции третьего вида (х:3), для которой технологические коэффициенты я13 =3 ед., а2Ъ= 1 еД-> а Д°Х°Д - с3 = 8 д. е.:

(а13их + а2Ъи2) - с3 = (3 • 1,4 + 1 • 0) - 8 = -3,8.

Так как доходы превышают затраты, то введение в план третьего вида продукции выгодно.

<< | >>
Источник: Бережная Е.В., Бережной В.И.. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика,2006. - 432 е.. 2006

Еще по теме 7.9. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений:

  1. 1.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ТОВАРНЫХ ЗАПАСОВ
  2. 2.2.3 ПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
  3. 3.4. Методические подходы к анализу взаимосвязей показателей устойчивости и скрытых воздействий с применением экономико-математических методов
  4. 2.2.3П ПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
  5. Сущность операционного анализа в рыночной экономике.Операционный анализ как инструмент управления деятельностью предприятия.Связь операционного анализа с другими функциями управления.
  6. 7.2. Построение экономико- математических моделей задач линейного программирования
  7. 7.9. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений
  8. Глава 17. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ
  9. 17.1. ВИДЫ И СПЕЦИФИКА ПРИМЕНЕНИЯ ЭКОНОМИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
  10. 3. Математический анализ модели.
  11. 17.3. КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
  12. Глава III. Введение в математический анализ
  13. СТРУКТУРА И СОСТАВ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ
  14. Глва 2. Введение в математический анализ.
  15. Введение в математический анализ.
  16. Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
  17. Математическая модель нахождения компромиссного решения
  18. Раздел II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
  19. Структура и элементы процесса принятия оптимальных решений.
  20. Методы принятия оптимальных решений