7.9. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений

изменение запасов ресурсов;

внедрение нового технологического способа производства, позволяющего снизить расход сырья А и В]

произошедшие изменения в ценовой политике на предприятии;

предполагается выпуск нового вида продукции.

Результаты влияния данных экономических ситуаций на оптимальное решение можно получить в ходе проведения экономико- математического анализа модели на чувствительность.

Анализ на чувствительность оптимального решения базируется на следующих свойствах двойственных оценок.

Двойственные оценки характеризуют дефицитность ресурсов.

Двойственные оценки показывают, как влияют изменения правой части ограничений (запасов ресурсов) на значение целевой функции. Практический интерес представляют границы (нижняя и верхняя) изменения ресурсов, в которых величины оценок остаются неизменными.

Двойственные оценки являются показателем эффективности производства отдельных видов продукции с ПОЗИЦИИ критерия оп-тимальности. С этой точки зрения в оптимальный план может быть включена лишь та продукция у-го вида, для которой выполняется условие

т

X aijui - cj >

/=1

где Uj — оптимальное значение двойственной оценки /-го ресурса;

ау — технологические коэффициенты;

Cj — доход, получаемый с единицы продукции у-го вида;

т — количество видов ресурсов.

ственной задач, т. е. Zmax¦ = Zmin (подразд. 7.8). Это означает, что оценка всех затрат производства должна равняться оценке произведенного продукта.

Используя данные свойства двойственных оценок, проведем анализ изменений исходной задачи, которые могут привести к недопустимости и неоптимальности решения.

Обратимся к конкретной задаче и проиллюстрируем применение анализа оптимального решения на чувствительность на примере задачи оптимизации ассортимента выпускаемой продукции (пример 7.2).

Составим математические модели прямой и двойственной задач.

прямая задача: максимизировать доход

Зла* = 3*! + 4Х2 (7.65)

при ограничениях

2хх + Зх2 < 9 (сырье А);

3*! + 2х2< 13 (сырье В); (7щ

х{ — х2 < 1 (спрос);

х2< 2 (спрос);

хх\ х2 > 0; (7.67)

двойственная задача: минимизировать

Anin = 9«i + 13 и2 + иъ + 2 и4 (7.68)

при ограничениях

2их + 3и2 + и3 > 3; (7.69)

3Wj + 2и2 — и3 + м4 > 4;

их\ и2у w3; иА > 0. (7.70)

Установив соответствие между переменными обеих задач и решая задачи симплекс-методом, запишем итоговую таблицу с оптимальным решением (табл.

В таблице vl5 v2 — выравнивающие переменные двойственной задачи; х3, х4, х5, х6 — выравнивающие переменные прямой задачи; щ — двойственная оценка /-го ресурса (/ = 1, 4).

Итоговая таблица Б* "1 Amin с* С свободные Б *3 *5 члены -V, 0,2 0,6 2,4 -и2 *4 -1 -1 3 -иА *6 —0,2 0,4 0,6 -v2 *2 0,2 -0,4 1,4 Свобод z 1,4 0,2 12,8 ные члены

Изменение запасов ресурсов. Значение двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы значение целевой функции, если бы объем данного ресурса (запас) увеличился на 1 ед. На основе вышеизложенных свойств двойственных оценок можно записать следующее:

AZ=w/.AA/, (7.71)

где щ — двойственная оценка /-го ресурса;

Abj — приращение /-го ресурса;

AZ — изменение целевой функции.

В нашем примере увеличение сырья А на 1 ед. привело бы к росту Zmax на 1,4 ед. (AZ= и{ . АЬ{ = 1,4 • 1 = 1,4).

Двойственная оценка для недефицитного ресурса равна нулю, так как ресурс используется не полностью и увеличение его запасов (Abj) не повлияет на оптимальное решение. В нашем примере и2 = и4 = следовательно, ресурсы 2 и 4 недефицитные. Избыток ресурса 2 (сырья В) составляет 3 ед. (х4 = 3 ед.), а ресурса 4 - 0,6 ед. (х6 = 0,6 ед.).

Используя аналитическое выражение (7.71), мы можем выявить только направление деятельности по устранению «узких» м,ест, обеспечивающее наибольшее изменение целевой функции. Это изменение определяется величиной Uj и может быть установлено лишь тогда, когда при изменении величин bj значения переменных м,, соответствующих двойственной задаче, в оптимальном плане остаются неизменными. В связи с этим необходимо определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ли- нейных ограничении, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Предельные оценки Abt нижнего и верхнего прироста запасов /-го ресурса можно определить по следующим формулам:

(7.72)

A^H)=minдля dki > 0; к [dki.

А *<в> =

(7.73)

к [dki

для dki < 0,

где jty - значение к-ih базисной переменной из оптимального решения; dki— элементы обратной матрицы коэффициентов при базисных переменных.

Элементы обратной матрицы dki находятся в итоговой симплекс-таблице (табл.

*к

А Л

, для dki > 0;

fH)=min{-

к\

к [di

«н^нм-*

З 0,6

At>i =

= 3.

max

max

-Г-0,2

х4 . х6 d4\ ' d6l

Интервал устойчивости оценок по отношению и изменению ресурса 1 будет равен:

[Ьх - Ьхн; Ъх + Ьхв] = [9 - 7; 9 + 3] = [2; 12].

Возможные пределы изменения запасов дефицитного ресурса 3, при которых двойственные оценки не изменяются, определяются следующим образом:

A b? = max- *4 . ii d43 5 7.1. max

З . 1,4

-1' -0,4

= 3,5.

Интервал устойчивости оценок по отношению к изменению ресурса 3 (соотношение спроса на продукцию П{ и П2) будет равен:

[b3 - А/>з"; Ъъ + ЬЬ{\ = [1 - 1,5; 1 + 3,5] = [- 0,5; 4,5].

Недефицитный ресурс (2 и 4) используется в производстве не полностью, поэтому верхняя граница интервала устойчивости определяется однозначно исходными данными (Ь2 = 13; й4 = 2). Ниж-нюю границу устойчивости можно определить, используя данные табл. 7.24, учитывая, что ненулевые выравнивающие переменные, вошедшие в базис, характеризуют величину избытка недефицитного ресурса. В нашем примере избыток недефицитного ресурса будет равен:

АЬ2 = Х4 = 3 И А= х6 = 0,6.

Тогда интервалы устойчивости оценок по отношению к изменению ресурсов 2 и 4 вычисляются следующим образом:

для ресурса 2:

[Ь2 - АЬ2Н; Ь2] = [13 - 3; 13] = [10; 13];

для ресурса 4:

[Z>4-AZ>4w; b4] = [2 - 0,6; 2] = [1,4; 2].

Так как изменения ресурсов находятся в пределах устойчивости оценок, то их раздельное влияние на величину доходов AZ, тах определяется произведением оценки Uj и величины АЬ{.

AZlmax= 1,4- [12-2] = 14;

AZ2max = 0.[13-10] = 0;

AZ3max = 0,2.[4,5-(-0,5)] = l;

AZ4max = 0- [2- 1,4] = 0.

Суммарное возможное увеличение оптимального значения функции составит:

AZmax = и{ • АЪхв + иъ • АЪ{ = 1,4 • 3 + 0,2 • 3,5 = 4,9 д.

Здесь можно определить также целесообразность дополнительного приобретения дефицитного ресурса, используя четвертое свойство двойственных оценок. Например, определить, выгодно ли приобретать дополнительно ресурс 1 (сырье А) в размере 2 ед. по цене сг = 0,5 д. е. за 1 ед. ресурса.

Приращение ресурса 1 на величину АЬх = 2 ед. находится в пределах устойчивости двойственных оценок. Следовательно, AZmax = = Abi . Wj = 2 . 1,4 = 2,8 ед., в то время как затраты на приобретение 2 ед. ресурса 1 вида составляют:

Ас = АЬ{ • сх = 2 • 0,5 = 1 д. е.

Поскольку величина дополнительных доходов (AZmax) больше дополнительных затрат, закупать ресурс 1 в размере 2 ед. по цене Cj = 0,5 д. е. целесообразно.

Необходимо подчеркнуть, что изменение правых частей ограничений может повлиять только на элементы правой части симплекс-таблицы и, следовательно, на допустимость самого решения. Поэтому, нужно при ВСЯКОМ изменении Abi в исходных условиях проводить расчеты новых значений элементов правой части симплекс-таблицы.

Внедрение нового технологического способа производства. Новый технологический способ производства предполагает либо выпуск нового вида продукции, либо изменение технологических коэффициентов, стоящих в левой части ограничений. Для определения эффективности внедряемого нового технологического способа с успехом могут быть использованы двойственные оценки.

Согласно третьему свойству двойственных оценок в оптимальный план включается новая продукция у-го вида, для которой выполняется условие

т

la^KCj. (7.74)

/=1

Оценим целесообразность введения в оптимальный план задачи (7.65 — 7.67) продукции третьего вида (х:3), для которой технологические коэффициенты я13 =3 ед., а2Ъ= 1 еД-> а Д°Х°Д - с3 = 8 д. е.:

(а13их + а2Ъи2) - с3 = (3 • 1,4 + 1 • 0) - 8 = -3,8.

Так как доходы превышают затраты, то введение в план третьего вида продукции выгодно.