Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов

Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу изделия первого вида составляют соответственно 1, 2, 1, 0, второго вида — 2, 1, 1, 1 и третьего вида — 1, 1, 0, 1.

Требуется:

1) составить план производства трех видов, максимизирующих прибыль;

2) определить дефицитность сырья;

3) установить размеры максимальной прибыли при изменении сырья А на 6 т, Б — на 3 т, В — на 2 т, Г — на 2 т. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное их влияние на прибыль;

4) оценить целесообразность введения в план производства фирмы нового вида изделий (четвертого), нормы затрат на единицу которого соответственно равны 1, 2, 2, 0, а прибыль составляет 15 усл. ед.

Решение. 1. Обозначим через = (x1, x2, x3) план производства изделий трех видов, тогда математическая модель задачи примет вид

при ограничениях:

Решаем задачу симплексным методом, при этом последняя таблица будет иметь вид.

Из таблицы следует

Согласно теоремам двойственности

2. Наиболее дефицитным является сырье типа В, для которого двойственная оценка у3 = 2. Менее дефицитным является сырье вида Б, для которого у2 = 1/2.

Для определения интервала устойчивости оценок найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов при базисных переменных в оптимальном решении системы ограничений. Базисными переменными в оптимальном решении являются x1, x2, х3, x4. Матрица коэффициентов при этих переменных в системе ограничений имеет вид

Тогда обратная матрица для матрицы А следующая:

Найдем интервал устойчивости оценок по видам сырья:

Интервал устойчивости оценок по отношению к первому ограничению:

Аналогично определим интервалы устойчивости оценок по отношению к ограничениям остальных видов сырья:

Интервалы устойчивости оценок по отношению ко второму ограничению:

к третьему ограничению:

к четвертому ограничению:

3. Изменения сырья согласно условиям задачи на +6, –3, +2, +2 т приводят к ограничению запаса сырья до 24, 13, 10, 8 т соответственно. Поскольку эти изменения находятся в пределах устойчивости оценок, на что указывают интервалы, то раздельное их влияние на прибыль определяется по формуле

тогда

Суммарное влияние на прибыль:

Если изменение сырья не находится в пределах устойчивости оценок, то необходимо найти новые условные оценки, т.е. решить задачу симплексным методом с изменением количества сырья соответствующих видов.

4. Для оценки целесообразности введения в план производства фирмы четвертого вида изделий используем формулу

Так как прибыль превышает затраты, то введение в план производства четвертого вида изделий целесообразно.