Задача 7.

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Решение.

Данное дифференциальное уравнение – уравнение 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y.

Применяя метод Бернулли для решения этого уравнения, сделаем замену , где u(x) и v(x) – неизвестные функции, которые мы будем искать поочередно.

Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:

.

Подставляя выражения для и в исходное уравнение, получим:

(*)

Отсюда

;

.

Выражение в скобках зависит только от v(x). Будем искать v(x), исходя из условия:

.

Рассматривая это равенство как дифференциальное уравнение, найдём частное решение для v(x) методом разделения переменных:

; ;

Переходим к интегралу:

; ; .

Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*):

; .

Найдём теперь общее решение для неизвестной функции u(x):

.

Окончательно, имеем общее решение исходного дифференциального уравнения:

.

Теперь, используем данное начальное условие и найдём частное решение уравнения:

Отсюда ,

Ответ: частное решение дифференциального уравнения имеет вид:

.