Задача 8

Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение.

Общий вид степенного ряда .

Известно, что область сходимости степенного ряда определяется величиной радиуса сходимости R:

или

Сходимость ряда на границах (при ) необходимо исследовать дополнительно.

Найдем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:

.

Имеем

;

;

.

.

Проверим сходимость ряда при . Подставляя это значение в исходный ряд, получим числовой ряд

.

Для исследования сходимости этого ряда используем формулу Стирлинга , верную для факториалов больших чисел.

Получим ряд сравнения.

Этот ряд расходится.

Проверим сходимость ряда при . Подставляя это значение в исходный ряд, получим числовой ряд

.

Применяя к нему те же соотношения, получим ряд сравнения

.

Этот ряд сходится (по признаку Лейбница).

Итак, мы получили область сходимости исходного ряда:

.