Задача 9

Разложить функцию в ряд Фурье.

.

Решение.

Функция задана на отрезке от -p до p. Следовательно, период её будет равен 2p.

Разложение функции с периодом 2p в ряд Фурье имеет вид:

Найдём коэффициенты разложения функции в ряд Фурье – коэффициенты Фурье – по формулам:

;

;

.

Поскольку функция задана кусочно, на двух промежутках, то все интегралы будем вычислять суммируя их на этих промежутках.

Итак,

Здесь мы воспользовались равенствами: ; для любых натуральных чисел n.

Аналогично вычисляем далее:

Итак,

.

Развернём этот ряд, получив первые три члена разложения:

.

График функции приведен ниже: