Задача 1.

Даны координаты вершины пирамиды . Сделать чертеж и найти:

1) длину ребра .

2) угол между ребрами и

3) площадь грани

4) уравнение прямой

5) уравнение плоскости

6) объем пирамиды

,, ,

Решение:

1) Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле . Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

2) Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:

В нашем случае , .

3) Площадь треугольника можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

==

=

Имеем,

Итак, площадь грани равна 11.58 (кв.ед.)

4) Уравнение прямой найдем как канонические уравнения прямой в пространстве:

,

где - координаты направляющего вектора прямой, а - координаты точки прямой. В нашем случае , а в качестве точки можно взять точку .

Итак, уравнение прямой имеет вид:

.

В общем виде:

или

5) Уравнение плоскости будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и :

,

,

.

Упрощая, получим: .

6) Объем пирамиды найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

.

Найдем смешанное произведение векторов , и:

Ответы:

1) длина ребра равна (ед.)

2) угол между ребрами и равен

3) площадь грани равна 11.58 (кв. ед.)

4) уравнение прямой (в каноническом виде ):

5) уравнение плоскости (в общем виде):

6) объем пирамиды равен 11 (куб. ед.).