24. Метод вариации произвольных постоянных.

Общее решение линейного уравнения с правой частью получается из общего решения соответствующего уравнения без правой части с помощью квадратур. Для этого можно применить следующий прием.

В общем решении уравнения без правой части заменяем все произвольные постоянные неизвестными функциями. Полученное выражение дифференцируем и попутно подчиняем неизвестные функции добавочным условиям, упрощающим вид последовательных производных. Подставляя выражение производных y’, y’’, y’’’ и т.д. в данное уравнение, получаем еще одно условие, налагаемое на неизвестные функции. Тогда оказывается возможным найти первые производные всех неизвестных функций и остается выполнить квадратуры.

Этот метод применим к линейным уравнениям любого порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Рассмотрим уравнение второго порядка:

y’’+P(x)y’+Q(x)=R(x) (1)

Пусть общее решение соответствующего уравнения без правой части есть

y=C1f1(x)+C2f2(x). (2)

Ищем общее решения уравнения (1) в виде (2), считая теперь C1 и С2 неизвестными функциями от х.

Дифференцируя (2), находим:

y’=C1f1’(x)+C2f2’(x)+ C1’f1(x)+C2’f2(x) (3)

Вводим добавочное условие

C1’f1(x)+C2’f2(x)=0. (4)

Тогда вид первой производной упрощается, и мы имеем:

y’= C1f1’(x)+C2f2’(x). (5)

Дифференцируя еще раз имеем:

y’’= C1f1’’(x)+C2f2’’(x)+ C1’f1’(x)+C2’f2’(x) (6)

После подстановки выражений (2), (5) и (6) в уравнение (1) все члены, содержащие С1, взаимно уничтожатся (ибо функция y=f1(x) есть решение уравнения y’’+Py’+Qy=0); точно так же взаимно уничтожатся все члены, содержащие С2, и мы получим еще одно условие

C1’f1’(x)+C2’f2’(x)=R(x) (7)

Условия (4) и (7) позволяют найти выражения производных С1’, C2’ и остается выполнить квадратуры.