23. Метод подбора.

Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении имеет вид

(37)

где Pm1(x) и Qm2(x) - многочлены степеней, соответственно, m1 и m2, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами.

Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.

I. Если f(x) = Pm(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде yчн(x)= Rm(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде yчн(x)= xr Rm(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать f(x) = Pm(x) в виде f(x) = e0 x [Pm(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s0 = 0 + 0i, m1 = m, m2 = 0, max(m1, m2) = m, поэтому

yчн(x)= xr e0 x [Rm(x) cos 0x + Sm(x) sin 0x] = xr Rm(x) .

Примеры: 1. Найти общее решение уравнения

Решение: характеристическое уравнение k2 - 5 k + 6 = 0, его корни k1 = 2, k2 = 3, yoo = C1e 2x + C3e 3x. Степень многочлена m = 3, число 0 не является корнем характеристического уравнения (r = 0), поэтому yчн(x) ищем в виде многочлена третьей степени с неопределёнными коэффициентами: yчн(x)= xr Rm(x) = Ax3 + Bx2 + Dx + E. Тогда подстановка этих выражений в уравнение даст [6Ax + 2B] - 5[3Ax2 + 2Bx + D] + 6[Ax3 + Bx2 + Dx + E] = x3 - 2x. Приводим подобные члены: 6Ax3 + [-15A + 6B] x2 + [6A - 10B + 6D] x + [2B -5D + 6E] = x3 - 2x. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x3 6A = 1; A = 1/6;

x2 - 15A + 6B =0; B = 15A/6 = 5/12;

x 6A – 10B + 6D = -2; D = 5B/3 – A – 1/3 = (25 – 6 – 12)/36 = 7/36;

1 2B – 5D + 6E = 0; E = 5D/6 – B/3 = 35/216 – 5/36 =(35 – 30)/216 = 5/216.

Итак,