Операции над высказываниями

Выше были рассмотрены простейшие высказывания. Из простых высказываний при помощи так называемых логических связок (союзов “и”, “или”, слов “если ..., то”, “тогда и только тогда, когда ...”, и других) можно образовывать новые сложные высказывания.

1. Дизъюнкцией (или логической суммой) двух высказываний и называется высказывание (обозначается ), истинное в случае, если хотя бы одно из высказываний и истинно. Дизъюнкция читается “ или” и соответствует союзу “ИЛИ”.

2. Конъюнкцией (или логическим произведением) двух высказываний и называется высказывание (обозначается или ), истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны. Конъюнкция читается “ и” и соответствует союзу “И”.

3. Эквиваленцией двух высказываний и называется высказывание (обозначается или ), истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания и одновременно истинны или ложны.

4. Импликацией двух высказываний и называется высказывание (обозначается или , или ; называется посылкой, заключением), ложное в том и только том случае, когда посылка истинна, а заключение ложно. Читается “из следует”, соответствует слову “СЛЕДУЕТ”.

Символы, обозначающие логические операции, называются логическими связками.

Для любых высказываний истинность или ложность их суммы, произведения, эквивалентности и импликации определяется в соответствии с таблицей, называемой таблицей истинности логических операций, в которой приведены значения сложного высказывания, в зависимости от значений высказываний и .

Таблица истинности логических операций.

И	И	И	И	И	И		И	Л
И	Л	И	Л	Л	Л		Л	И
Л	И	И	Л	Л	И
Л	Л	Л	Л	И	И

Из таблицы истинности для импликации видно, что если посылка и импликация истинны, то истинно и заключение. В этом случае пишут и говорят, что из следует .

Два высказывания равносильны, если их таблицы истинности совпадают. Например, высказывания и равносильны. Убедимся в этом, построив их таблицы истинности:

И	И	И	И
И	Л	Л	Л
Л	И	И	И
Л	Л	И	И

С помощью введенных операций из элементарных высказываний строятся сложные высказывания, например:

.

Такие выражения называются логическими формулами. Каждая из них может принимать определенное значение истинности и, будучи обозначена одной буквой, может быть рассмотрена как элементарное высказывание.

Тождественно истинные высказывания – высказывания истинные всегда, независимо от того, истинны или ложны составляющие их высказывания. Тождественно истинное высказывание иначе называют тавтологией. Тождественно ложные высказывания – высказывания ложные всегда, независимо от истинности или ложности составляющих их высказываний. Тождественно ложное высказывание иначе называют противоречием. Тождественно истинные и тождественно ложные высказывания обозначаются буквами (true) и (false) (по-русски: И и Л) соответственно (или цифрами 1 и 0).

Истинность или ложность сложного высказывания, образованного при помощи нескольких логических операций, можно установить, построив таблицу истинности сложного высказывания, последовательно используя таблицы истинности логических операций.