§1.1. Высказывания

Высказыванием называется некоторое повествовательное утверждение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, {число 50 делится на 10} – истина; {50 больше 100} – ложь.

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключения третьего).

Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным (закон противоречия).

Отрицанием высказывания (обозначается ù или ) называется высказывание, утверждающее, что высказывание не выполняется. Отрицание высказывания можно получить, сказав: “утверждение не имеет места” или “ не выполняется”. Определяющим словом здесь является частица “НЕ”.

Каково бы ни было высказывание , из двух высказываний и ù одно является истинным, а другое ложным.

Высказывание ù (ù) (или ) называется двойным отрицанием высказывания . Имеет место равенство ù (ù) = (закон двойного отрицания).

Повествовательное утверждение, зависящее от некоторой переменной и становящееся при конкретных значениях высказыванием, называется неопределенным высказыванием (или предикатом). Неопределенное высказывание выражает некоторое свойство переменной .

Примеры предикатов. Пусть , , делится на 4}, {любой -угольник можно разрезать на треугольники}. Здесь истинно, ложно, ложно, истинно, истинно, не имеет смысла.

Для неопределенного высказывания можно построить таблицу истинности. В таблице для конкретных значений переменной указывается, истинно высказывание или ложно при этом . Например, {число делится на 3} истинно при любом , кратном 3, в

противном случае ложно.

Таблица истинности для предиката

Ложь	Л	Истина	Л	Л	И	Л

Аналогично предикатам от одной переменной определяются предикаты от нескольких переменных: , и т.д.

Для предиката можно построить высказывания “” и “” (читается: “для любого имеет место ” и “существует такое , что имеет место ”).

С помощью кванторов можно образовывать также новые предикаты: если – предикат, то, например,

– предикат от ,

– высказывание.

Выражения, содержащие кванторы, можно преобразовывать. Например, перестановка двух рядом стоящих одинаковых кванторов приводит к равносильному высказыванию:

;

º.

Изменение же порядка следования кванторов существования и всеобщности друг с другом искажает смысл высказывания и может привести к изменению значения истинности. Так, например, на множестве натуральных чисел высказывания

(1) – истинно,

(2) – ложно.

Во многих вопросах математики возникает необходимость строить отрицание высказывания, выраженного с помощью кванторов.

Отрицания высказываний “” и “”.

Имеет место равенство ù ºù. Действительно, утверждение “неверно, что для всех ” – это то же самое, что “для какого-нибудь не ”. Аналогично справедливо равенство ù ºù, так как утверждение “неверно, что существует , для которого ” равносильно следующему: “для всех не ”. Таким образом, чтобы построить отрицание высказывания, содержащего кванторы, надо кванторы заменить на , а на , а утверждение, стоящее под знаком кванторов, заменить на противоположное.

Пример. ºº

ºº.