28. Дисконтирование денежных потоков

Оглавление

В экономических измерениях сопоставление разновременных денежных потоков выполняется путем дисконтирования - процедуры приведения разновременных денежных потоков (поступлений и платежей) к единому моменту времени.

P = j ( F t ),

где P (Present value) - текущая оценка денежных средств; F t (Future value) - величина денежных средств (поступлений и/или платежей), производимых в момент времени t.

В качестве вычислительной процедуры, позволяющей определить эквивалент, как это было показано выше, целесообразно использовать формулу сложных процентов.

Рассмотрим применение этой формулы для простейшего денежного потока в форме единичного платежа, диаграмма которого приведена на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Единичная текущая сумма и единичная будущая сумма

В случае, если необходимо определить денежный эквивалент текущей суммы P через n лет при ставке процента R, то для этого необходимо вычислить будущую сумму FV по формуле:

F = P(1 + R)n

где n - количество процентных периодов (количество раз начисления процентов), отделяющих текущий и будущий моменты времени.

Для вычисления текущего аналога P будущей суммы денежных средств F через n лет при ставке процента R следует воспользоваться формулой:

Более сложная процедура расчета эквивалента, если денежный поток представлен серией равных по величине и регулярно совершаемых платежей.

Рис. 2.5. Серии равных платежей и единичная будущая сумма

В частности, для того, чтобы определить будущий эквивалент серии равных платежей А через n лет (рис.

ПРИМЕР.

Допустим, на сберегательный счет в банк ежегодно вкладывается по 100 руб. Ставка процента на сберегательном счета в течение всего периода составляет 12 % годовых. Какая сумма будет накоплена на счете в течение 5-ти лет ?

Последовательность расчета искомой суммы, представенная в табл. 2.5, состоит в следующем. Первая из сумм 100 руб, помещенная на сберегательный счет, через 4 года возрастет до величины 157,35 руб, вторая, помещенная через год, - 140,49 руб, и т.д. Поскольку последняя сумма вложена в конце 5-го года, на нее проенты не начисляются.

Таблица 2.5.

Сумма сложного процента серии ежегодных платежей

С целью нахождения выражения для расчета будущей суммы F представим искомую сумму в следующем виде:

F = A(1) + A(1 + R) + ...+ A(1 + R)n-2 + A(1 + R)n-1.

Умножим это выражение на (1 + R):

F(1 + R) = A(1 + R) + A(1 + R)2 + ...+ A(1 + R)n-1 + A(1 + R)n

Вычтя первое выражение из второго, получим

F(1 + R) = A(1 + R) + A(1 + R)2 + ...+ A(1 + R) n-1 + A(1 + R)n

-F = -A(1) - A(1 + R) - A(1 + R)2 - - A(1 + R)n-1

F(1 + R) - F = -A +A(1 + R)n

В результате получаем следующую формулу для расчета денежного эквивалента F денежного потока из серии равных по величине и регулярно совершаемых платежей А через n процентных периодов при ставке процента R:

Для нахождения денежного потока серии равных по величине и регулярно совершаемых платежей А через n процентных периодов при ставке процента R, эквивалентного заданной будущей сумме F можно использовать следующую формулу:

ПРИМЕР.

Если требуется накопить 6000 руб, производя серию из пяти платежей с ежегодно начисляемым сложным процентом 12% годовых, следует каждый год совершать платеж

A = 6000 * 0.12/[(1 + 0.12)5 - 1] = 6000(0.1574) = 944.4 (руб)

На практике часто возникают задачи установления эквивалентности между текущей суммой P и денежным потокам из серии равных по величине и регулярно совершаемых в течение n процентных периодов при ставке процента R платежей А.

ПРИМЕР.

Инвестиционным проектом предусматривается приобретение оборудования по условиям торгового лизинга. Стоимость оборудования равна $2.000.000. По условиям договора предоплата составляет 50 % от стоимости оборудования. Последующие платежи производятся ежеквартально серией равных 10-ти платежей при ставке процента 10 % годовых. Определить сумму ежеквартальных платежей.

Для этого необходимо определить сумму платежей А, которые через n процентных периодов при ставке процента R, будут эквивалентны текущей сумме Р. В этом случае, используя полученные ранее зависимости, получаем:

Применим полученную формулу для нахождения искомой суммы А для приведенного примера. Поскольку по условиям договора предоплата составляет $1 000 000, то следует определить эквивалент оставшейся суммы P, представленный серией из 10-ти платежей по ставке процента (10 % : 4 = 2,5 %), начисляемых ежеквартально:

При подобной системе платежей важно определить какую часть платежа А относится к возврату основного долга, а какая часть является оплатой процентов по торговому кредиту. В частности, это важно для включения процентов в себестоимость для целей налогообложения.

Для этого можно воспользоваться схемой расчетов, приведенных в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Схема расчетов платежей за кредит

(расчет выполнен с округлением)

Расчет основан на том, что проценты за кредит рассчитываются от оставшейся на момент начисления процентов суммы долга (тела кредита).

Для оценки текущего эквивалента P серии платежей А, совершаемых в течение n процентных периодов при ставке процента R, используется следующая формула:

.

Сформулированные зависимости применимы для анализа экономической эффективности проектов, представленных в форме денежных потоков любой структуры. При этом оценка предпочтительности одного денежного потока над другим требует приведения сравниваемых потоков к единой эквивалентной основе. В частности, как это показано на рис. 2.6, каждый из сравниваемых денежных потоков 1 и 2 можно рассматривать как совокупность единичных платежей (поступлений), для каждого из которых определяется его текущий эквивалент Pi (Fi). Поскольку в этом случае каждый из единичных платежей дисконтирован, т.е. приведен к текущему моменту времени, то сумма дисконтированных единичных платежей:

может служить основой для сравнения денежных потоков.