Интегральная формула Коши

Теорема. Если -аналитическая функция в G, G – односвязная область,

Г- замкнутый контур, лежащий внутри G, z лежит внутри G, z лежит внутри Г, то .

Док-во:

Пусть -окружность .

1) -функция аналитическая между Г и .

2) умножим на и разделим на 2

.

3)

, таким образом разность между функциями меньше любого, сколь угодно малого числа, т.е. равна нулю. Следовательно, функции равны.

Замечание.

Теорема.(для многосвязной области) Если G - многосвязная область, ограниченная контурами Г и , С – граница G, С=, -аналитическая функция в G и на С, то .

Док-во:

1)Покроем границу окрестностями ее точек, выделим конечное подпокрытие, расширим область аналитичности. Разрежем G по получим односвязную облость.

Г

2) По теореме для односвязной области

.