Движение тел с переменной массой

В классической механике Ньютона масса движущегося тела рассматривается только как постоянная величина.

Рассмотрим на примере реактивного движения.

Телом переменной массы называют тело, масса которого изменяется с течением времени.

Пусть в некоторый момент времени t ракета, масса которой в любой фиксированный момент времени равна m, имеет скорость относительно Земли в любой фиксированный момент времени; - скорость истечения газов относительно оболочки ракеты. На ракету действуют внешние силы:

;

;

;

Приводя подобные слагаемые и считая, что очень маленькая величина (т.е. ей можно пренебречь), получим:

;

;

(1)

Уравнение (1) представляет собой основное уравнение динамики точки переменной массы и называется уравнением Мещерского.

- ежесекундный расход топлива.

- реактивная сила.

Рассмотрим уравнение (1) при отсутствии внешних сил. Вначале преобразуем его к следующему виду:

(*)

(**)

Подставим это выражение в уравнение (1):

Спроецируем на ось Ох:

Разделим переменные и проинтегрируем его в пределах, соответствующих начальному моменту движения ракеты и некоторому моменту t при ее движении:

;

;

;

(2)

Эта формула выведена К.Э.Циолковским и называется формулой Циолковского. Формула (2) позволяет рассчитать, какую массу топлива нужно сжечь, чтобы ракета приобрела определенную скорость. Согласно (2) отношение начальной массы ракеты к ее конечной массе m равно и будет тем меньше, чем больше скорость истечения газов .

- масса сожженного топлива;

Q – количество теплоты, которое выделяется при сгорании;

; (3)

где q – удельная теплотворность топлива.