Содержание
Тема 1 Дифференциальные уравнения движения произвольной системы материальных точек
Лекция 1. Свободные и несвободные системы. Связи и их классификация. Возможные и виртуальные перемещения.
Идеальные связи. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода.Лекция 2. Принцип виртуальных перемещений. Принцип Даламбера. Голономные системы. Независимые координаты. Обобщенные силы. Уравнения Лагранжа второго рода в независимых координатах. Исследование уравнений Лагранжа.
Лекция 3. Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы. Интеграл энергии.
Лекция 4. Электромеханические аналогии. Уравнения Аппеля для неголономных систем. Псевдокоординаты.
Тема 2 Уравнения движения в потенциальном поле
Лекция 5. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Обобщенный потенциал. Ненатуральные системы. Канонические уравнения Гамильтона.
Лекция 6. Уравнения Рауса. Циклические координаты. Скобки Пуассона.
Тема 3 Вариационные принципы и интегральные инварианты
Лекция 7. Принцип Гамильтона. Вторая форма принципа Гамильтона. Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре – Картана).
Лекция 8. Гидродинамическая интерпретация основного интегрального инварианта. Теоремы Томсона и Гельмгольца о циркуляции и вихрях. Обобщенно-консервативные системы. Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби.
Лекция 9. Принцип наименьшего действия Мопертюи – Лагранжа. Движения по инерции. Связь с геодезическими линиями при произвольном движении консервативной системы. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Инвариантность объема в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля.
Тема 4 Канонические преобразования и уравнение Гамильтона – Якоби
Лекция 10. Канонические преобразования. Свободные канонические преобразования. Уравнение Гамильтона –Якоби. Метод разделения переменных.
Применение канонических преобразований в теории возмущений.Лекция 11. Структура произвольного канонического преобразования. Критерий каноничности преобразования. Скобки Лагранжа. Симплектичность якобиевой матрицы канонического преобразования.
Тема 5 Устойчивость равновесия и движения системы
Лекция 12. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия. Признаки неустойчивости положения равновесия. Теоремы Ляпунова и Четаева. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные системы.
Лекция 13. Условная устойчивость. Общая постановка вопроса. Устойчивость движения или произвольного процесса. Теорема Ляпунова. Устойчивость по линейному приближению.
Тема 6 Малые колебания
Лекция 14. Малые колебания консервативной системы. Нормальные координаты. Влияние периодических внешних сил на колебания консервативной системы. Малые колебания упругих систем.
Лекция 15. Диссипативная функция Релея. Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы. Влияние внешней силы, зависящей от времени, на малые колебания склерономной системы. Амплитудно-фазовая характеристика.
Тема 7 Системы с циклическими координатами
Лекция 16. Приведенная система. Потенциал Рауса. Скрытые движения. Концепция Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии.
Лекция 17. Устойчивость стационарных движений.