6.1. МЕХАНИЗМЫ ПЛАНИРОВАНИЯ
На качественном уровне задача заключается в следующем.
Пусть проект состоит из некоторого набора работ. Часть работ заказчик (организация, заинтересованная в реализации проекта) может выполнить самостоятельно - так называемые собственные работы. Часть работ может оказаться выгодно поручить исполнителям - так называемые подрядные работы. Как правило, априори существуют несколько организаций - претендентов на роль исполнителей, причем, чем больший объем работ будет поручен определенному исполнителю, тем меньше окажется себестоимость. В то же время, существует ненулевая вероятность невыполнения работ исполнителем, поэтому возникает задача определения объема собственных работ, подрядных работ и такого распределения их между исполнителями, которое минимизировало бы затраты заказчика и минимизировало риск. Понятно, что критерии «риск» и «стоимость» являются противоречивыми, в том смысле, что снижение затрат приводит к увеличению риска, и наоборот. Поэтому возникает задача поиска рационального компромисса между затратами и риском.Рассмотрим следующую модель. Пусть проект заключается в выполнении объема V однородных и произвольно делимых работ. Затраты заказчика описываются следующей функцией затрат: c0(y0) = c0 + a0 y0, где y0 >0 - объем собственных работ, c0 - постоянные издержки, a0 - удельные переменные затраты заказчика. Если реализация проекта приносит заказчику доход, пропорциональный объему (коэффициент пропорциональности l может интерпретироваться как внешняя цена), то знание функции затрат заказчика позволяет вычислить точку безубыточности - минимальный объем собственных работ: y00 = c0 / (l- a0).
Пусть имеется множество I = {1, 2, .., n} из n потенциальных исполнителей, функции затрат которых имеют такую же структуру: ci(yi) = ca + ai y, i е I.
Так как постоянные издержки исполнителей обычно включаются в себестоимость, то при линейном механизме ценообразования удельная стоимость выполнения объема работ yi i-ым исполнителем равна Ь(уг-) = ai + c0i /yi и убывает с ростом объема работ, i е I.Обозначим Q cI - множество исполнителей, участвующих в проекте. Тогда затраты C(Q, V, {У,}) заказчика на реализацию проекта с объемом работ V зависят также от набора исполнителей Q и распределения работ между ними: {y,}, eQ:
C(Q, V, {y,}) = Tcoi + tay +
i-Q i-Q
+ [c0 + a0 (V- t У, )] Sign (V- t У, ),
i-Q i-Q
„. /4 f1, t > 0 где Sign(t) = J .
[0, t < 0
Пусть на объемы работ, выполняемых исполнителями, наложено ограничение сверху - {V}, eI. Тогда задача планирования примет вид:
C(Q, V, {У,}) ® min .
Q,{y -[0;Vi ]}
при ограничении
tу, Задача (2)-(3) принадлежит классу задач дискретной оптимизации. Для ее решения (помимо полного перебора - метод 1) может быть использован метод декомпозиции на два уровня: сначала задача решается при фиксированном множестве Q, а затем уже выбирается это множество. Можно предложить несколько эвристических методов отыскания (неточного) решения задачи (2)-(3). Перечислим некоторые возможные варианты. Метод 2. Упорядочить исполнителей, включая заказчика, по возрастанию величин c0i, затем включать тех из них в состав ис-полнителей, начиная с первого, выделяя максимальные объемы работ Vi, пока весь объем работ Vне будет распределен. Метод 3. Упорядочить исполнителей, включая заказчика, по возрастанию величин ai, затем включать их в состав исполнителей, начиная с первого, выделяя максимальные объемы работ Vi, пока весь объем работ V не будет распределен. Метод 4 (принцип равных удельных затрат). Решаем систему из (n + 1) уравнения: b(y) = bo(yo), i el,yo + XУг = V. iGl с n неизвестными y0 и {yi}i el. Если решение этой системы не удовлетворяет ограничениям yi ? Vi, i e l, то излишки работ распределяем по тому же принципу. Метод 5. XC +aV)x + [c0 +a0(V-?Vlxl)]Sign(V-?Vlxl) ® min , iGl iGl iGl {x} при ограничении XViXi ?V. iGl Задача о ранце (4)-(5) может быть решена методом динамического программирования или простым перебором (число вариантов » 2n). Но, учитывая специфику задачи, можно предложить простое эвристическое правило: включать в состав исполнителей Q тех из них i е I, для кого выполняется следующее условие: (6) Саг + Vi (a - ao) <0. Исследуем сравнительную эффективность предложенных пяти методов решения задачи планирования на следующем примере. Пусть имеются два потенциальных исполнителя, параметры которых, совместно с параметрами заказчика, приведены на рисунке 5 (отметим, что стоимости выполнения объема работ, равного единице, одинаковы у всех исполнителей и у заказчика). Рис. 5. Параметры функций затрат заказчика и потенциальных исполнителей Результаты решения задачи планирования методами 1-5 приведены в таблице 3. Табл. 3. Результаты решения задачи планирования методами 1-5
Метод Состав исполнителей Затраты
1 {0, 1} 12
2 (0, 2} 15
3 {0, 1} 12
4 {0, 1, 2} 14,88
5 {0, 1} 12
Видно, что использование эвристик в рассматриваемом примере приводит к завышению затрат (по сравнению с точным решением - см. метод 1) на 25 %. В заключение настоящего раздела рассмотрим методы учета риска в задачах планирования. Ограничимся случаем n претендентов на выполнение работ по проекту, у каждого из которых существует минимальный объем vi работ, который он согласен выполнять, и цена ai единицы объема работ, i e l. Будем считать, что, чем больше объем работ, тем ниже цена (см. выше), тогда исполнителей можно упорядочить: Vi >V2 >.. Заказчик в случае невыполнения DV > 0 объема работ по проекту несет потери c(DV). Если a0 - собственная стоимость выполнения единичного объема работ заказчиком, то без учета риска следовало бы в случае ai < a0 и V >Vi передать весь объем работ первому исполнителю, если же ai ?a2 < a0k V < Vi и V >V2, то - второму и т.д. Учтем теперь риск, предполагая сначала, что c(AV) = gDV, где g>0 - неотрицательная константа (коэффициент штрафов). Обозначим Ci - математическое ожидание затрат заказчика в случае выполнения всего объема работ первым исполнителем: С1 = V [(i - p) ai + p g. В случае, если первому исполнителю поручается объем работ Vi ?V, а второму - (V - Vi), то математическое ожидание затрат заказчика равно C2(Vi) = (i - p) [ai Vi + a2 (V- Vi)] + p g V. Видно, что минимум выражения (8) достигается при Vi = V, то есть, привлечение второго исполнителя не имеет смысла. Этот вывод обусловлен линейностью целевых функций и независимостью «отказов» исполнителей. Для того, чтобы учесть эффект диверсификации рассмотрим случай, когда %(.') - нелинейная функция. Положим c(DV) = g(DV)2. Тогда С = V[(i - p) ai + p gV], C2(Vi) = (1 -p) [ai Vl + a2 (V- Vi)] + p g[2 V? - 2 V Vi + V2]. Минимум выражения (10) по V1 (внутреннее решение) достигается при Vl = V/ 2 + (1 ~p)(a2 "a') . 4 РГ Видно, что объем работ, выполняемых первым исполнителем, убывает с ростом вероятности p. Сравнивая (9) и C2(V 1), можно принимать решение о целесообразности привлечения второго исполнителя. Аналогичным образом (последовательно) могут анализироваться оптимальные наборы исполнителей. Таким образом, в случае упорядоченности исполнителей по минимальным объемам и ценам, задача планирования, даже с учетом риска, решается аналитически. До сих пор, рассматривая механизмы компромисса, мы считали, что все стороны договорных отношений (и заказчики, и исполнители) одинаково и полно информированы относительно всех существенных параметров. Другими словами, считалось, что целе-вые функции, допустимые множества, операторы агрегирования и т.д. являются общим знанием [74]. Откажемся от этого предположения и рассмотрим различные варианты взаимной информированности договаривающихся сторон, и исследуем влияние информированности на процесс и результаты переговоров о параметрах договоров.