5.4. РОЛЬ ИНФОРМИРОВАННОСТИ АГЕНТОВ

Предположим, что информированность агентов описывается информационной структурой I = (IJ, I2, ..., In), где I, = (в,, ву, вф ...), i, j, k е N, - структура информированности i-го агента, i е N, в, - его представления о состоянии природы, ву - его представления о представлениях j-го агента, вук - представления i- го агента о том, что j-ый агент думает о представлениях k-го агента и т.д. в общем случае до бесконечности [37]. Отметим, что введенная модель может быть легко модифицирована для ситуации, в которой все агенты адекватно информированы о состоянии природы, но придерживаются различных норм деятельности.

Если задана структура информированности I, то тем самым задана и структура информированности каждого из агентов (как реальных, так и фантомных - то есть существующих в сознании других реальных и фантомных агентов). Выбор т-агентом, где t - некоторая последовательность индексов из множества N, своего действия хт в рамках гипотезы рационального поведения определяется его структурой информированности IT, поэтому, имея эту структуру, можно смоделировать его рассуждения и определить

его действие. Выбирая свое действие, агент моделирует действия других агентов (осуществляет рефлексию). Поэтому при определении исхода игры необходимо учитывать действия как реальных, так и фантомных агентов.

Обозначим S+ - множество всевозможных конечных последовательностей индексов из N, S - объединение S+ с пустой последовательностью, |а| - количество индексов в последовательности s (для пустой последовательности принимается равным нулю).

Набор действий xT , t е S+, называется информационным равновесием [37], если выполнены следующие условия:

структура информированности I имеет конечную сложность V, то есть, дерево I содержит конечный набор попарно различных поддеревьев [37];

"Я, m eS+ Ii = Im ^ xl* = xm*;

"i е N, "sе S

x* e Argmax f , x

Oi'1''"' xsi,i-1' yi, xsi,i+1'"''

yi eAi

Запишем условия (1) в терминах норм деятельности:

"i е N, " s е S Щвт) е Arg max Два, tfl(вail), ...

У, eAi

¦¦¦,tfi-l(вoi,i-l), yi, tfi+l(ваi.i+l), ¦¦¦, Ип(в(Я,)))-

Структура информированности является бесконечным деревом, отражающим иерархию представлений агентов в рефлексивной игре [37].

Если априори имеется (например, построено исходя из содержательных соображений) конечное дерево, отражающее несколько первых уровней представлений агентов, то в общем случае нельзя однозначно сказать какой бесконечной информационной структуре оно соответствует. Другими словами, может существовать множе-

ство информационных структур, любое конечное число верхних уровней которых совпадает.

Поэтому для определения информационного равновесия по конечному дереву представлений агентов необходимо введение дополнительных предположений. Например, можно постулировать, что каждый фантомный агент, соответствующий нижнему уровню конечного дерева представлений, при определении своего действия считает, что агент, соответствующий предыдущему уровню иерархии, адекватно информирован о нем.

Далее будем рассматривать регулярные структуры информированности [37], обладающие, в частности, тем свойством, что, если задано конечное дерево представлений и известно, что информационная структура регулярна, то информационное равновесие определяется однозначно. Для регулярных структур информированности удается: получить конструктивные условия существования информационного равновесия, исследовать зависимость информационного равновесия от структуры информированности, поставить и решить задачу рефлексивного управления [37].

Для задания регулярных структур информированности введем вспомогательное понятие регулярного конечного дерева (РКД), которое определим рекуррентно.

Пусть в игре участвуют n агентов. Если (в простейшем случае) все агенты одинаково информированы, то структура информированности имеет сложность n и единичную глубину.

Далее РКД может «расти» следующим образом: к каждой висячей вершине ti, т е S, присоединяется ровно (n - 1) ребро, при этом возникает (n - 1) висячая вершина tij, j = 1, ..., i - 1, i + 1, ..., n. Построенное РКД будем интерпретировать так: если имеется висячая вершина ti, т е S, то т-агент одинаково информирован с t-агентом (если t - пустая последовательность, то ti-агент является реальным, и его субъективные представления совпадают с объективными).

Напомним, что, во-первых, максимальная глубина kt РКД i-го реального агента в [37] названа рангом его рефлексии. Во-вторых,

любая конечная регулярная информационная структура однозначно (с учетом аксиомы автоинформированности - " i е N " t, s е S вта = вта [37]) задается перечислением своих висячих вершин.

Обозначим множество параметрических (параметр - вектор Q = (в1, в2, ..., в„) е Wn) равновесий Нэша

ENLO) = {{хт, е N е A' | " i е N, "у, е A,

Т, хг(в), ..., хп{в)) > Т, хг(в), ..., хМ, УГ, х+1(в), ..., ХП(Ш, а объединение этих множеств по всевозможным субъективным представлениям о значении состоянии природы обозначим EN = U EN (в1,в2,..., вп). Вычисление объединения (по со-

(в1,в2,..., вn )eWn

стояниям природы) множеств равновесий имеет смысл с двух точек зрения. Во-первых, при рассмотрении задачи о максимальном целесообразном ранге рефлексии некоторого реального агента требуется определить минимальный ранг рефлексии, при котором он охватывает все многообразие своих выигрышей в рефлексивной игры, а выигрыши зависят, в том числе, и от состояния природы. Во-вторых, при постановке прямой или обратной задачи информационного управления (когда центр целенаправленно формирует структуры информированности агентов) необходимо учитывать все равновесия, возможные при различных допустимых структурах информированности (всевозможных допустимых комбинациях значений неопределенных параметров на всех уровнях структуры информированности).

Предположим, что на нижнем уровне { втij}j е N конечной регулярной структуры информированности имеет место субъективное общее знание фантомных агентов.

EN({втij}j е N).

Введем множество наилучших ответов i-го агента на выбор оппонентами действий из множества X-i при множестве W возможных состояний природы:

BR,(W, Х-,) = U Arg max f (в, х,, х_,), i е N,

х_, eX, вeW Х' eAi

а также следующие величины и множества:

EN = U EN (в),

в eW n

X" = Proji EN, i е N,

X_ = ПXk, i е N, к = 0, 1, 2, ...,

j *i

где

Xk = BR(Q, X__), к = 1, 2, ... , i е N.

Отображение BR,(• , ): W xA-i ® Ai называется рефлексивным отображением i-го агента, i е N [37].

В [37] доказано , что Xk с Xk+1, к = 0, 1, ... , i е N, то есть с

ростом ранга рефлексии множества (8) возможных наилучших ответов агентов не сужаются.

Рефлексивное отображение i-го агента называется стационарным, если Xk = Xk+1, к = 0, 1, ... .

В [37] доказано, что, если рефлексивные отображения агентов стационарны, то максимальный целесообразный субъективный ранг рефлексии равен двум и множество действий i-го агента, которые могут быть реализованы как компоненты информационного равновесия, составляет Xi0 , i е N. При этом множество информационных равновесий составляет E = П X(° .

ie N

Данный факт имеет чрезвычайно важное значение по следующим причинам. Если рефлексивные отображения агентов стацио- нарны2, то, во-первых, каждый агент может ограничить свои рассуждения вторым рангом рефлексии (третьим уровнем регулярного дерева информационной структуры), так как для любого большего ранга рефлексии и для любого соответствующего этому рангу информационного равновесия найдется структура информированности глубины три, информационное равновесие

при которой совпадет с исходным. Во-вторых, центру не имеет смысла навязывать агентам сложные структуры информированности, имеющие глубину четыре и более, так как множество действий агентов, реализуемых как информационные равновесия, при этом не расширяется. Итак, стационарность рефлексивных отображений привлекательна как с точки зрения центра, так и с точки зрения агентов.

Отметим, что выше утверждается, что при стационарных рефлексивных отображениях множество равновесных действий i-го

(реального) агента составляет Xi0 , i е N. Казалось бы, это множество может быть реализовано информационной структурой единичной глубины, в которой субъективные представления агентов являются общим знанием (см. выражения (3), (5) и (6)). Для отдельного агента это так, но множество равновесий при этом будет EN. Для того чтобы реализовать более широкое множество E з EN информационных равновесий требуется структура информированности глубины два. Действительно, формируя у i-го агента (независимо от других агентов) конечную регулярную информационную структуру Ii = (в, О,) при всевозможных в, ву е W центр может побудить его выбрать как субъективно равновесное действие любую точку множества X0, i е N. Так как информационное

воздействие производится на агентов независимо, то множеством возможных исходов является декартово произведение множеств X0, i е N, то есть множество E.

Как отмечалось выше, если рефлексивные отображения агентов стационарны, то максимальный целесообразный субъективный ранг рефлексии равен двум, а глубина структуры информированности, соответственно трем. При этом речь идет о такой минимальной глубине структуры информированности агента, при которой он может "увидеть" реализацию наихудшей для него ситуации.

Содержательно, центру необходимо обеспечить независимый выбор реальными агентами (первый уровень структуры информированности) компонент информационного равновесия. Для этого с их точки зрения должны быть реализуемы любые обстановки (второй уровень), для чего, в свою очередь требуется равновесие на более глубоком (третьем) уровне.

Таким образом, при стационарных рефлексивных отображениях с точки зрения центра при осуществлении информационного (рефлексивного) управления достаточно ограничиться структурами информированности агентов глубины два (то есть графами рефлексивной игры [37] вида в, « вj), а с точки зрения агентов - структурами информированности агентов глубины три (то есть графами рефлексивной игры [37] вида в, — в.j « в1]к).

Так как в настоящем разделе нас интересует роль информированности агентов с позиции институционального управления, осуществляемого центром, то будем исследовать воздействия на первые два уровня структуры информированности (воздействие на третий уровень, по-видимому, может оказаться существенным для стабильности информационного управления [36, 37]).

Рассмотрим обратную задачу информационного управления: пусть задан вектор х е A' действий агентов, требуется найти множество 1(х) структур информированности, при которых данный вектор действий является информационным равновесием в смысле (1).

Так как в настоящей работе мы ограничиваемся случаем стационарных рефлексивных отображений, то достаточно искать структуры информированности в классе двух- или трехуровневых, которые однозначно задаются последовательностями в.j е W или, соответственно, в1]к е W, i, j, k е N.

Рассмотрим i-го реального агента, который в силу рациональности его поведения вычисляет

(9) х* е Arg mах Да х*, . х _!, У- х*1+1, Х*п), ' е N,

У1 eA

и моделирует действия своих оппонентов (фантомных /j-агентов, j е N, первого уровня) в соответствии с (1):

Xij е Arg mах /(в/ ху1, j ур j+1, хЦп), j е К

yj eAj

и т.д.

Для того чтобы показать, каким образом "обрывается" цепочка наращивания уровней рефлексии, предположим, что регулярная структура информированности имеет глубину, равную трем, то есть содержит только последовательности вида в, ву и вук, i, j, к е N. Такая структура информированности подразумевает, что для каждых i е N, j е N, фантомные i/к-агенты, к е N, разыгрывают равновесие Нэша (см. также (3)) с общим знанием 6ij = {вijk}k е N:

Екв) = {х({вф}кеN) е A' | "к е N, " ук е Ак

M/ х^), • ••, Хп(ву) >

>/к(вф, X1(fij), • • •, Хк-г(вц), ук, хш(вц), ..., Хп(в))}. Таким образом, при заданной структуре информированности i- ый агент (реальный) вычисляет сначала в соответствии с (11)

равновесные действия х*к = хк(в,/) фантомных i/к-агентов, j е N,

к е N. Затем он подставляет их в (10), вычисляя равновесные действия фантомных //-агентов, j е N, а затем уже находит в соответствии с (9) множество своих равновесных (с его субъективной точки зрения) действий.

До сих пор, решая задачу определения информационного равновесия, мы двигались по дереву информационной структуры

"снизу вверх", что позволило определить множество Е = П X0

ie N

действий реальных агентов, реализуемых как информационное равновесие при регулярных структурах информированности и стационарных рефлексивных отображениях. Теперь можно, двигаясь "сверху вниз", решать обратную задачу информационного управления

Условия (9) позволяют для каждого агента i е N и каждого его

действия хi е X0 определить множество тех обстановок игры х-

i е A-i, на которые данное действие является наилучшим ответом при некотором представлении в, е W рассматриваемого агента о состоянии природы:

Р(х) = {х-,- е A-, I $ в, е W: х, е BR(eb х_)}, хг е X0, i е N,

где BRi^i, х-,) = Arg max ?(в,, х-,, у,), х-,- е A-,, в, е W, i е N.

yi eA

Введем многозначное отображение

Р(х) = IР, (х).

ieN

Очевидно, множество {х е A' | х е Р(х)} с A' является ни чем иным, как множеством EN (см. выражение (5)), то есть объединением множеств «классических» параметрических равновесий Нэша (3) игр агентов, в которых информация 0 ={в1, в2, ..., в^ об индивидуальных представлениях агентов о значениях вг е W, i е N, является общим знанием.

Перейдем к рассмотрению собственно влияния информированности агентов на управление нормами деятельности. Выше норма для i-го агента была определена как отображение его информированности во множество его действий, а информированностью являлось знание о значении неопределенного параметра - состояния природы в е W. В случае, когда каждый агент обладает иерархией представлений, его информированность описывается структурой его информированности. Поэтому далее, в отличие от разделов 5.1-5.3 и от выражения (2), нормой для i-го агента будем считать X'(Ii) е Aг, i е N, а нормой деятельности коллектива агентов - отображение информационной структуры во множество действий всех агентов: tf(I) = (H1(I1), tf2(I2), ..., Xn(In)).

Рассмотрим последовательно (в порядке возрастания сложности) различные возможности центра по формированию структур информированности агентов.

Вариант I. Пусть центр осуществляет унифицированное (однородное) информационное регулирование [14, 36], то есть, структура информированности i-го агента есть Iг = в, i е N, в е W и сообщаемое центром значение состояния природы в является общим знанием. Фрагмент (для i-го и j-го агентов) графа соответствующей рефлексивной игры имеет вид в « в и не зависит от рассматриваемых агентов. Отметим, что такая информированность совпадает с рассмотренной выше в разделах 5.1-5.3 (информация о состоянии природы является общим знанием).

Тогда множество всевозможных информационных равновесий игры агентов есть

EN = U EN(0, в, ..., О).

в eW

Очевидно, имеет место:

EN С EN С Е С A'.

Фиксируем вектор х1 е E°N действий агентов. Обозначим

W 1(х1) - такое множество допустимых значений параметра в е W, при котором вектор х1 действий является параметрическим равновесием Нэша (решение обратной задачи информационного управления):

W 1(х1) = {О е W | "i е N, "у, е A, /(в, х1) >/(О, х_,, у)},

X1(0) - множество векторов действий, удовлетворяющих следующему условию

"i е N, "у, е A, ДО, х1) >/(О, х_,, у), в е W.

Так как информированностью агента является в е W, то получаем, что в рассматриваемом варианте I норма К ( ) является согласованной, если

"в е W "i е N К1,(в) е Proj,X1(0),

а унифицированная норма Ки( ) - см. раздел 5.3 - является согласованной, если

"в е W "i е N К1и(в) е Proj,X1(0).

Отметим, что сообщение центром норм деятельности, отражающих прогнозируемые состояния системы, может рассматри-ваться как активный прогноз, для которого применимы все результаты, приведенные в [36].

Вариант II. Пусть центр осуществляет персонифицированное информационное регулирование [14, 36], то есть, структура информированности i-го агента есть I, = в,, в, е W, i е N, и индивидуальные представления агентов о состоянии природы являются общим знанием. Фрагмент (для i-го и j-го агентов) графа соответ-ствующей рефлексивной игры имеет вид в, « в/.

Тогда множество всевозможных информационных равновесий игры агентов есть EN, то есть шире, чем в первом варианте.

Фиксируем вектор х2 е EN действий агентов. Обозначим W 2(х2) - такое множество значений векторов параметров в2 е Wn, при котором вектор х2 действий является параметрическим равновесием Нэша (решение обратной задачи информационного управления):

W2(х2) = {в 2 е Wn I "i е N, "у, е A, Дв2, х2) > Дв2, х_, у,)},

Х2(0) - множество векторов действий, удовлетворяющих следующему условию

" i е N, "у, е A, Дв2, х2) >f (в2, х!,., у), в2 е Wn.

Так как информированностью агента является вектор в2 е Wn, то получаем, что в рассматриваемом варианте II норма X ( ) является согласованной, если

"в2 е Wn, "i е N Х,2(в2) е ProjtХ2(в2),

а унифицированная норма X 2и() является согласованной, если

"в2 е Wn, "i е N X\<в 2) е ProjtХ2(в2).

Сравнивая (17)-(18) и (20)-(21), в силу (15) получаем, что во втором варианте множество согласованных (и, в том числе, уни-фицированных) норм не уже, чем множество согласованных (и, в том числе, унифицированных) норм в первом варианте .

Рассмотренные варианты I и II исчерпывают регулярные структуры информированности единичной глубины. Поэтому рассмотрим регулярные структуры информированности глубины два.

Вариант III. Пусть центр осуществляет рефлексивное управление [36], сообщая каждому агенту информацию о неопределенном параметре, а также то, что о значениях этого параметра думают ("знают") остальные агенты, то есть, структура информированно-сти i-го агента есть Iг = {вг, вг]}, вг, вг]- е W, i, j е N. Фрагмент (для i- го агента) графа соответствующей рефлексивной игры имеет вид

вг « в1Г

Тогда множество всевозможных информационных равновесий игры агентов есть Е, то есть шире, чем в первом и во втором варианте.

Фиксируем вектор х е Е действий агентов. Обозначим W3 (х3) - такое множество значений векторов параметров

вi = (в, {ву}/ *,) е Wп, при котором вектор действий (х3, у-,), где

у-, е П X0 , является информационным равновесием (решение

j &

обратной задачи информационного управления) с точки зрения i-го агента:

W3(х3) = {О3 е Wn I $ у-, е ПX;° :

j &

"у, е Ai /в х3, у-i) >/в у, у-i), "j * i, "У/ е A/ /(ву, х3, у-,) >№Р х3, у-,-/, у/)}, X3 (вi) - множество векторов действий, удовлетворяющих следующему условию

$ у-i е П X/0 : "у, е A, /(в,, х,3, у-,) >Ш, у» у-,),

j

"j * i, "у/ е A/ /(ву, х3, у-,) >/(ву, х3, у-, - /, у/), в3 е Wп.

Существенным является то, что для каждого из агентов мно-жества (22) могут вычисляться независимо.

Утверждение 4. а) "i е N, "в] е Wп X3(03) = ProjtX2(03); б) " i е N," х3 е X°

W3( х3) = U W 2(х2).

{х 2 eE |х,2 = х,3}

Справедливость утверждения 4 следует из определений множеств EN, EN и Е, и выражений (19) и (22).

Из утверждения 4 вытекает, что для решения обратной задачи информационного управления в варианте 3 достаточно найти в общем виде решение обратной задачи информационного управления в варианте 2, а затем воспользоваться выражением (23).

Так как информированностью i-го агента является вектор в1 е Wn, то получаем, что в рассматриваемом варианте III норма

К3 () является согласованной, если

"в3 е Wn, К3 в) е Х3(в3),

а унифицированная норма К () является согласованной, если

"в3 е Wn, X3и(в3) е Х3(в3).

Так как индивидуальные нормы деятельности могут назначаться агентам независимо, то из утверждения 4 и сравнения выражений (20) и (24) получаем, что справедливо следующее утверждение.

Утверждение 5. В случае рефлексивного управления (вариант III) множество согласованных индивидуальных норм деятельности совпадает с множеством согласованных индивидуальных норм деятельности в случае персонифицированного информационного регулирования (вариант II).

Вариант IV. Альтернативой варианту III является следующий: центр формирует у i-го агента (например, путем публичного сообщения значения параметра в е W, а затем частного сообщения значения параметра вг е W) структуру информированности h = (в,, в = в} * г). Обозначим вг4 = (в, в) е W2, i е N.

Фрагмент (для i-го агента) графа соответствующей рефлексивной игры имеет вид в. — в « в. Множество равновесий Нэша игры фантомных агентов второго и третьего уровня структуры информированности есть Е^[(в, в, ..., в) - см. выражение (3), причем это множество могут вычислить все агенты. Следовательно, Х;(ви в) = БЯЩ, Е^в, в, ..., в)). Обозначим множество возможных информационных равновесий в рассматриваемом варианте

Е4 = U {у е A' I у- е U Х^в в)}.

в eW в1 eW

Фиксируем вектор х4 е A' действий агентов. Обозначим W4(х4) - такое множество значений векторов параметров ({в.}. еN, в) е Wn +1, при котором данный вектор действий является

информационным равновесием (решение обратной задачи информационного управления):

W4(х4) = {({в,}, е N, в) е Wn +1 I "i е N

х4 е БЯгв Е^в, в, ..., в))}. Так как информированностью i-го агента является вектор в4 е W2, то получаем, что в рассматриваемом варианте IV норма

К4 ( ) является согласованной, если

"в4 е W2, К4(в,4) е Х4(в4),

а унифицированная норма К () является согласованной, если

"в4 е W2, X4и(в4) е Х4(в4).

Отметим, что в общем случае множество Е4, то есть множество векторов х4 е A', для которых W4(х4) *0, может отличаться от любого из множеств En, E°n и Е. Единственно, можно с уверенностью утверждать, что Е с Е, ^ Projг E°n С Е4.

ieN

Итак, в случае стационарных рефлексивных отображений рассмотренные четыре варианта информационных воздействий исчерпывают все многообразие возможных информационных равновесий. Наверное, при воздействии центра на более глубокие (третий, четвертый и т.д.) уровни структуры информированности агентов, множества согласованных норм деятельности могут "расширяться". Однако так как нормы являются отображением структур информированности в действия, сравнивать множества согласованных норм при структурах информированности различной глубины затруднительно, поэтому ограничимся описанными выше четырьмя вариантами.

Результаты исследования обратных задач информационного управления для четырех рассмотренных вариантов позволяют сделать вывод, что с точки зрения множеств информационных равновесий эти варианты соотносятся следующим образом:

I с II с III, IV с III, II с IV; II n IV * 0,

а с точки зрения множеств согласованных норм:

I с IV с III = II.

Сформулируем этот важный вывод в виде утверждения.

Утверждение 6. В случае стационарных рефлексивных ото-бражений третий вариант информационного воздействия (формирование информационной структуры вида в, « ву, i, j е N) характеризуется максимально широкими множествами как информационных равновесий, так и согласованных норм.

Таким образом, третий вариант характеризуется максимально широкими множествами как информационных равновесий, так и согласованных норм, поэтому именно этот вариант, как дающий центру наибольшие возможности управления, следует рассматривать в первую очередь, как при построении теоретических моделей, так и при реализации институционального и информационного управления на практике.

Полученные в настоящем разделе условия согласованности норм деятельности и решения обратных задач информационного управления позволяют ставить и решать широкий круг задач - примерами служат рассматриваемые ниже прикладные модели управления нормами деятельности.