§ 1.16. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач с использованием понятия напряженности электрического поля необходимо знать формулы (1.9.3) и (1.9.5), определяющие силу, действующую на заряд со стороны электрического поля, и напряженность поля точечного заряда.

Очень важно уметь свободно пользоваться понятием линий напряженности, дающих качественную картину распределе-ния поля в пространстве.

Также необходимо хорошо знать поведение проводников и диэлектриков в электростатическом поле. Задача 1

Положительный заряд q равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиусом R. Найдите напряженность электрического поля на оси кольца в зависимости от расстояния h от центра кольца.

Решение. Напряженность Е поля в произвольной точке А на оси кольца равна геометрической сумме напряженностей (принцип суперпозиции), создаваемых отдельными малыми элементами длиной Alt заряженного кольца (рис. 1.64).

Заряд малого элемента кольца

A q.-

2nRMr

Следовательно, модуль напряженности поля, создаваемого элементом кольца в точке А, равен:

Д q,

Е; = fe „О . О • (1.16.1)

R2 + h2'

Искомая напряженность К

(1.16.2)

Вследствие симметрии суммарный вектор Е лежит на оси кольца. Поэтому в проекции на ось У (которая совпадает с осью симметрии кольца) равенство (1.16.2) запишется так:

cos а.

я - 5Х =

Из рисунка видно, что cos а = ^ Следовательно, с учетом

VR2 + h2 ' (1.16.1) Aqt

= k-

І Мі-

R + h2 JtfTh2 (R2 + h2)3'2 і

Сумма ^Дqt = q, поэтому окончательно имеем:

і

E = k

qh

'(Д2 + й2)8'2'

Из этого выражения вытекает, что в центре кольца (h = 0) Е = 0.

Свойства электрического диполя (системы из двух точечных зарядов +\q\ и -\q\, находящихся на расстоянии I друг от друга) характеризуются его электрическим моментом р = \q\l. Найдите напряженность поля электрического диполя с моментом р в точке, отстоящей от центра оси диполя на расстоянии Д » / в двух случаях:

а) точка лежит на прямой, проходящей через ось диполя;

б) точка лежит на прямой, перпендикулярной оси диполя и проходящей через ее центр.

Решение, а) В первом случае, как это видно из рисунка 1.65, напряженность поля в точке А равна: Е,

И)

E+q~E_a = k\q\ Так как R » I, то 1 1

«-Г

2г

R3

И)

Следовательно, модуль вектора напряженности в точке А

(1.16.3)

Направлен вектор ЕА вдоль оси диполя от него. Если бы точка А была взята слева от диполя (со стороны отрицательного заряда), то вектор Еа был бы направлен к диполю. /

/ А

Л

1 \ В ЕВ\ ,а/ N у а\ R Р Л 1 4 _ 1 І+ІЇІ К R

Рис. 1.65

б) Во втором случае (см. рис. 1.65) напряженность поля, со зданного каждым из зарядов в точке В, равна:

Суммарный вектор напряженности Е параллелен оси диполя. Его модуль равен:

(1.16.4)

Заметим, что в обоих случаях напряженность убывает как , т. е. быстрее, чем напряженность поля точечного заряда

л

(пропорциональная і).

R*

Задача 3

В сильном однородном электрическом поле напряженностью Е на одной силовой линии в точках 1 и 2, расположенных на расстоянии lQ друг от друга, находятся протон (р) и электрон (е) (рис. 1.66). Начальная скорость обеих частиц равна нулю. Чему равно расстояние между частицами спустя время х после начала движения?

Решение. Направим ось X по направлению си-ловой линии Е, а начало отсчета совместим с точкой 2, где вначале находился электрон. Пренебрегая взаимодействием частиц друг с другом (сильное поле), можно считать движение электрона и протона равноускоренным. Тогда, согласно известной кинематической формуле, координата протона в момент време-

ни т равна:

Координата электрона

*2 те 2 ' где mg — масса электрона.

еЕх2 тр + те еЕх2

I Х1 х2 lQ+ 2 ~lQ+ ,

так как т„ т.

Р е

Задача 4

На расстоянии d от большой проводящей пластины находится точечный электрический заряд +q. С какой силой действует на него пластина?

Решение. Под влиянием заряда +q на пластине появляются наведенные отрицательные заряды. Они распределяются по поверхности пластины таким образом, что результирующая напряженность электрического поля, созданного этими зарядами и зарядом +q, внутри пластины равна нулю (индуцированные положительные заряды уходят на удаленные края пластины, и их влиянием можно пренебречь). Поскольку плас тина большая, модуль суммарного наведенного заряда равен q.

Справа от пластины (рис. 1.67) электрическое поле создается точечным зарядом +q и распределенным по поверхности пластины наведенным отрицательным зарядом -q. Слева электрическое поле отсутствует (эффект электростатической защиты).

Представим себе, что мы поместили слева от пластины на расстоянии d точечный отрицательный заряд —q (заряд-изо-

Рис. 1.68

бражение). Он наведет на левой поверхности пластины поло-жительные заряды, которые распределятся по ней точно так же, как отрицательные заряды на правой поверхности. При этом электрическое поле справа от пластины не изменится (опять действует электростатическая защита).

Можно сказать, что справа от пластины поле создается двумя точечными зарядами +д и —q и зарядами (отрицательными и положительными), индуцированными на обеих сторонах пластины. (Ведь суммарная напряженность электрического поля от точечного отрицательного заряда и наведенных положительных зарядов справа от пластины равна нулю.) Если пластина тонкая (ее толщина мала по сравнению с расстоянием d), то напряженность поля наведенных зарядов вне пластины равна нулю.

Таким образом, оказывается, что справа от пластины электрическое поле, создаваемое зарядом +q и наведенными отрицательными зарядами, совпадает с полем, созданным двумя точечными зарядами +q и -q, находящимися на расстоянии 2d друг от друга (рис.

Задача 5

Найдите напряженность электрического поля вблизи участка поверхности проводника с известной поверхностной плотностью электрического заряда а.

Решение. Очень близко к заряженной поверхности напряженность электрического поля (в СИ) определяется по формуле (е = 1)

F -

~~ 2?Q '

так как очень малый участок поверхности АВ (рис. 1.69) можно считать плоским, и вблизи этого участка справедлива формула (1.12.5) рис 16д для напряженности поля равномерно заряженной плоскости. Это поле

создается по обе стороны заряженной поверхности: = ~EV Кроме того, вблизи данного элемента поверхности зарядами, расположенными на всей остальной поверхности проводника,

создается поле напряженностью Е2• Так как поле является не-

—» —»

прерывным, то Е'2 = Е2. Внутри проводника поле отсутствует, т. е. Ё'2 = 0. Значит, Ё'г = -Ё'2. Следовательно, Ёг = Ё2. Поэтому искомая напряженность

Е = Е +е =

1 2 2Е0 2е0 Е0

Задача 6

Внутри заряженного шара с постоянной объемной плотно-стью электрического заряда р имеется сферическая полость. Расстояние между центрами шара и полости равно а. Найдите напряженность Е электрического поля внутри полости.

Решение. Заряженный шар с полостью эквивалентен шару, равномерно заряженному по всему объему, внутри которого имеется сфера с зарядом противоположного знака и той же по модулю объемной плотностью заряда р. Тогда суммарный заряд этой части шара равен нулю, что соответствует наличию полости в шаре.

Напряженность поля в произвольной точке А полости равна векторной сумме напряженностей поля, созданного сплошным заряженным шаром, и поля, созданного шаром, занимающим сферическую полость (рис. 1.70):

Рис. 1.70

4я ->

4л

^ . 4Я й ,41 ^ ,41 ^ Еа = kT рRa -kTprA = kT pa.

Как видно из полученного результата, напряженность поля в полости не зависит от положения выбранной точки А.

Металлический шар радиусом R, имеющий заряд q, находится внутри диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е. Определите поляризационный заряд, возникающий в диэлектрике у поверхности заряженного шара, и поверхностную плотность поляризационного заряда.

Решение. Если бы вокруг шара не было диэлектрика, то он создавал бы в окружающем пространстве поле с напряженно-стью

где г > R.

При наличии диэлектрика возникает поле с напряженностью

(1.16.5)

І4І є " 1

Е - Е1- Е2 - k-J

очевидно, равна напряженности поля, которое создает поверхностный поляризационный заряд q', появляющийся возле заряженного шара (рис. 1.71). Заряд q' противоположен по знаку заряду q. Так как поляризационный заряд распределен равномерно по поверхности сферы, то

(1.16.6)

Разность

Сопоставляя выражения (1.16.5) и (1.16.6) для Е, найдем: Поверхностная плотность поляризационных зарядов равна

, = _М_ = _М_ = е^Л у

° 4яі?2 є 4 nR2 є где о — поверхностная плотность заряда q на шаре.

Задача 8

Найдите напряженность электрического поля, создаваемого в вакууме бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда т.

Решение. Проще всего решить задачу с помощью теоремы Гаусса.

Вычислим поток напряженности через цилиндр, ось которого совпадает с заряженной нитью (рис. 1.72). Радиус ци-линдра г, атего высота I. Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженности Е перпендикулярны боковой по-верхности цилиндра. Поэтому поток напряженности через бо-ковую поверхность цилиндра равен: (1.16.7)

п'

N = 2 nrlE Поток через основания равен нулю.

Внутри цилиндра находится заряд q = її.

Согласно теореме Гаусса, записанной в абсолютной системе

единиц,

2пг1Еп = 4лт/. (1.16.8)

Отсюда модуль напряженности поля равен:

(1.16.9)

Упражнение 2

Два точечных заряда ql = 200 СГСЭ^ и q2 = 10~7 Кл погру-жены в керосин (є = 2).

В точке А напряженность поля равна 63 Н/Кл, а в точке В — 7 Н/Кл (рис. 1.74). Найдите напряженность в точке С, лежащей посередине между точками А и В.

В вершинах квадрата со стороной I расположены одинаковые заряды q. Чему равна напряженность на расстоянии d = 21 от центра квадрата: а) на продолжении диагонали; б) на прямой, проходящей через центр квадрата и параллельной его стороне?

Заряженная пылинка массой Ю-8 г находится в равновесии в однородном электрическом поле. Напряженность поля направлена вертикально и равна по модулю 10 СГСЭ?. Сколько избыточных электронов находится на

пылинке? Заряд электрона е = 4,8 • Ю-10 СГСЭ?, а его

масса те = 9,1 • 10~28 г.

В однородном поле с напряженностью, направленной вертикально и равной по модулю 105 Н/Кл, находится в равновесии капелька масла, имеющая избыточный заряд, равный заряду электрона е = 1,6 • 10~19 Кл. Плотность масла р = 900 кг/м3. Найдите радиус сферической капли.

В вершинах при острых углах ромба, составленного из двух равносторонних треугольников со стороной а, помещены положительные заряды q. В вершине при одном из тупых углов ромба помещен также положительный заряд Q. Определите напряженность Е поля в четвертой вершине ромба.

Решите предыдущую задачу, если заряд Q — отрицатель-ный, в случаях, когда: a) |Q| > q; б) |Q| = q и в) |Q| < q.

Какой угол а с вертикалью составляет нить, на которой висит заряженный шарик массой т = 0,25 г, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е = 35 СГСЭ?? Вектор напряженности направлен горизон-тально. Заряд шарика q = 7 СГСЭ?.

В однородном электрическом поле с напряженностью Е = 100 СГСЭ?, линии которого составляют с вертикалью угол a = 30°, висит на нити шарик массой т — 2 г, имеющий заряд q = 10 СГСЭ?. Определите силу натяже-ния нити.

Может ли точечный электрический заряд, помещенный в электростатическое поле, находиться в состоянии устойчивого равновесия?

Тонкое полукольцо радиусом В = 20 см заряжено равномерно зарядом q = 7 • Ю-11 Кл. Найдите модуль напря-женности поля в центре окружности полукольца.

Три одинаковых точечных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника, сторона которого равна а. Найдите напряженность поля в вершине пра-вильного тетраэдра, построенного на этом треугольнике.

Тонкой прямоугольной металлической пластинке со сторонами а и Ь сообщен заряд q. Определите модуль напря-женности поля в точках, близких к центру пластинки.

Две металлические пластины, площадью S каждая, несут положительные заряды Q, и Q2. Расстояние между плас- тинами много меньше их линейных размеров. Найдите на-пряженность поля в точках А, В, С (рис. 1.75).

Две пластины площадью S = 100 см2 каждая находятся на малом расстоянии друг от друга. Заряды пластин равны по модулю = Ю-8 Кл и противоположны по знаку. Найдите силу притяжения пластин.

Мыльному пузырю радиусом R сообщен заряд Q. Найдите силу, действующую на поверхность пузыря единичной площади. Мыльную пленку считать проводящей.

К длинной вертикально расположенной проволоке, заряженной равномерно с линейной плотностью т, привязан вблизи ее середины на небольшой нити шарик массой т. Шарик заряжен зарядом q, одноименным с зарядом нити. При равновесии расстояние от шарика до проволоки равно г. Найдите угол отклонения нити от проволоки.

Две частицы с массами т и М, имеющие заряды -q и +Q, движутся вдоль линии напряженности однородного элект-рического поля так, что их скорости в любой момент времени одинаковы (рис. 1.76). Определите: а) расстояние х между частицами, при котором возможно такое движение; б) ускорение частиц. Напряженность Е поля известна.

В центре полого проводящего шара помещен точечный за-ряд q = 10 СГСЭ^. Внутренний радиус шара г = 10 см, внеш-ний радиус Д = 20 см. Найдите напряженности электриче-ского поля у внутренней (?х) и у внешней (Е2) границ шара.

Пространство между двумя бесконечными параллельны-ми пластинами заполнено диэлектриком, заряженным с постоянной объемной плотностью заряда р. Расстояние между пластинами а. Найдите зависимость напряженнос-ти электрического поля от расстояния х, отсчитываемого от середины между пластинами.

+Q Е

С

В

А

х