§ 1.28. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Электрическая емкость — последняя тема главы «Электростатика». При решении задач на эту тему могут потребоваться все сведения, полученные при изучении электростатики: сохранение электрического заряда, понятия напряженности поля и потенциала, поведение проводников в электростатическом поле, изменение напряженности поля в диэлектриках, закон сохранения энергии применительно к электростатическим явлениям.

Основными формулами при решении задач на емкость являются следующие: формула (1.24.2) — определение емкости, формула (1.24.3) — емкость уединенного шара, выражения для емкости плоского конденсатора (1.25.3) и сферического конденсатора (1.25.7), а также формулы для определения емкости батареи конденсаторов при последовательном и параллельном их соединении (1.26.4) и (1.26.2).

Надо знать еще формулы (1.27.3) и (1.27.9) для энергии заряженного конденсатора и заряженного уединенного тела.

Задача 1

Два одинаковых металлических шарика радиусом г расположены в вакууме на расстоянии d друг от друга, причем d~S> г. Шарики заряжены одинаковыми по модулю и противоположными по знаку зарядами. Какова электрическая емкость системы, образованной шариками?

Решение. Искомая емкость равна отношению заряда q одного из шариков к разности потенциалов между ними:

Найдем U. Потенциал первого шарика, несущего заряд +ала в поле второго шарика, равного - . q , (см. задачу 16 § 1.23). Следовательно,

Аналогично потенциал второго шарика

Отсюда разность потенциалов

С/ = ф1-ф2= ^(І - і).

Поскольку d » г, то с большой степенью точности можно считать, что U-

_2q_ 4кє0г' Следовательно,

С = 2 ле0г. Задача 2

Рис.

Найдите емкость С конденсатора, площадь пластин которого S и расстояние между ними I, если в конденсатор вставлена металлическая пластина толщиной <3, параллельная его обкладкам (рис. 1.107).

Решение. Конденсатор со вставленной в него пластиной можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Емкость

e0S

первого ИЗ НИХ Cj = одной из обкладок до пластины. Емкость второго

При последователь-

e0S

, где х — расстояние от

конденсатора С2 = ^ _ ^ _

ном соединении электрическая емкость батареи определяется уравнением:

d

і = J- + J- = 1

E0 S

C =

EqS l-d'

Емкость не зависит от положения пластины. При очень тонкой пластине (d —» 0) емкость конденсатора не зависит от наличия пластины.

Следовательно,? В плоский конденсатор с расстоянием d между обкладками вводится диэлектрическая пластина, толщина которой d^ < d. Определите емкость конденсатора с диэлектрической пластиной. Диэлектрическая проницаемость материала пластины е. Площадь пластины и каждой обкладки конденсатора S.

Рис. 1.108

Решение. Если в плоский конденсатор внести очень тонкую проводящую пластину, параллельную обкладкам, то на ее поверхностях появятся заряды противоположных знаков, равные по модулю. При этом емкость конденсатора не изменяется (см. задачу 2). Поэтому можно считать, что на поверхностях диэлектрической пластины нанесены тонкие проводящие слои. В этом случае образуются три последовательно соединенных конденсатора с емкостями

enes

Е nS

E0S

С =

Сі"

! - u2 иС3=^-,ГДЄ<*2И<гз-

расстояния между поверхностями ди-электрической пластины и обкладками, причем d2 + d3 = d - dj (рис. 1.108). Емкость С батареи из трех конденсаторов определяется из формулы

Отсюда

ee0S

С =

Ed + dx{ 1 - Е)'

Задача 4

На рисунке 1.109 изображена батарея конденсаторов. Их емкости равны = С, С2 = 2С, С3 = 3С, С4 = 6С. Изменится ли емкость батареи, если между точками А и Б включить конденсатор с емкостью С5 = 8С?

Решение.

о—

C5

В

C2 C4 Рис. 1.110

С1 сз А Фз о— Фі Ф4 В q>2

C2 C4 Рис. 1.109

Так как конденсаторы С1 и СЗ соединены последовательно, то их заряды одинаковы, т.е.

С1(ф1-ф3) = С3(ф3-ф2). (1.28.1)

Аналогично

С2(Фх - Ф4) = С4(Ф4 - Ф2). (1.28.2)

Разделив почленно равенство (1.28.1) на равенство (1.28.2) и учитывая, что, согласно условию задачи,

_ Сз С2 С4'

получим:

Фі - Фз = Фз ~Ф2 Фі - Ф4 Ф4 - Фг '

Отсюда найдем, что ф3 = ф4, т. е. точки А к В имеют одинаковые потенциалы. Поэтому если включить какой-либо конденсатор между точками А и В (рис. 1.110), то он не зарядится и, следовательно, не повлияет на емкость системы.

Схема, подобная схеме, изображенной на рисунке 1.110, называется мостовой. Конденсаторы С1 и С2, СЗ и С4 называются плечами моста. Обратите внимание, что если емкости

(с\ 1 сз 1\ .

плеч моста пропорциональны = 2ис~ = 2/|'ТО точки А и

В имеют одинаковые потенциалы. Конденсатор С5 не заряжается, и его из схемы можно удалить (см. рис. 1.109).

Задана 5

Найдите емкость батареи конденсаторов, изображенной на рисунке 1.111. Емкость каждого конденсатора равна С. о- 2

5 4

2=

=5=1 А- 3=

В

-А

3=Ф= 6-

6 3-

Рис. 1.112

Рис. 1.111

Рис. 1.113 Решение. Данная схема соединения конденсаторов эквивалентна схеме, изображенной на рисунке 1.112. В этом можно убедиться, проверив, что каждый из конденсаторов соединен с источником и с другими конденсаторами точно так же, как в исходной схеме. Вследствие равенства емкостей всех конденсаторов разность потенциалов между точками А и В равна нулю. Поэтому конденсатор 4 можно исключить (см. задачу 4). В ре-зультате получится схема, изображенная на рисунке 1.113. Она состоит из трех параллельных ветвей, две из которых содержат по два последовательно включенных конденсатора. Общая емкость системы

c = ci + с^с-3+сГТс-6=2С-

Задача 6

Два маленьких шарика радиусом г несут заряды qx и q2, различные по модулю, но одинаковые по знаку.

выделившееся в проводнике при соединении шариков, и выясните, за счет какой энергии выделяется эта теплота и увеличивается кинетическая энергия второго шарика.

Решение. Согласно закрну сохранения энергии в первом случае ^01 + WpOl + W0c = + + Wle,

где WkQl и Wp0l + W0c — начальные, a Wkl и WpX + Wu — конечные значения кинетической и потенциальной энергий системы двух шариков. Причем WpQ1 и W^ — потенциальные энергии взаимодействия шариков, a WQc и Wlc — их суммарные собственные энергии, одинаковые по модулю. Считая потенциальную энергию взаимодействия при бесконечно большом расстоянии между шариками равной нулю и учитывая, что VTfe01 = 0, получим:

w =w =Mi

После соединения проводником заряды шариков становят-

ся одинаковыми и равными q = —^—. Начальная потенци-альная энергия шариков изменяется. Кинетическая энергия второго шарика на бесконечности теперь равна:

(?1 + ?г)2 Ш = W = *

р02 16яе0/ '

Нетрудно видеть, что действительно Wk2 > Wkv Кроме того, в проводнике выделяется количество теплоты Q. Однако, разумеется, полная энергия должна сохраняться. Увеличение кинетической энергии и выделение теплоты во втором случае происходит за счет уменьшения собственной потенциальной энергии заряженных шариков при их соединении.

С учетом собственной энергии шариков конечную энергию в первом случае можно представить в виде

= Щі + 2 2 Ql , 92

2 г 2 г

где W. = 1

\

— собственная энергия шариков. Ко-

/

1с 4яе0

нечную энергию во втором случае запишем так: w2 = Wi = Wk2 + W2c + Q> + Я2\ 2

где

Количество выделенной теплоты равно: (g1 - g2)2 '

16лє0 ^r I

е = + wkl - w2c - wa 7.

Пластины заряженного конденсатора попеременно заземляются. Будет ли при этом конденсатор разряжаться?

Плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого dx = 10 мм, зарядили до разности потенциалов иг = 100 В, а затем отключили от сети. Определите разность потенциалов U2 между обкладками конденсатора, если их раздвинули до расстояния d2 — 20 мм.

Определите емкость конденсатора, площадь пластин которого равна S, а расстояние между пластинами d, если пластины погружены вертикально в жидкий диэлектрик до середины. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна е.

В конденсатор емкостью С0 внесли диэлектри- ^ ческую пластинку с диэлектрической прони- >[ 2 цаемостью є = 2. Пластинку расположили LJ так, как указано на рисунке 1.114. Определи- Н| те, во сколько раз изменилась емкость кон- Н| денсатора при внесении в него пластинки. ШЖ Площадь пластинки в 2 раза меньше площади Н| обкладки конденсатора, а ее толщина в 2 раза меньше расстояния между обкладками.

Плоский конденсатор, пространство между пластинами которого заполнено керосином ^ > (є = 2), расположен вертикально, заряжен и Рис j отключен от источника напряжения. Напря-женность электрического поля при этом в керосине Е = = 20 кВ/см. Из-за дефекта в корпусе конденсатора керосин начинает вытекать, а его место занимает воздух. Предельная напряженность электрического поля в воздухе, при которой наступает электрический пробой (разряд), .Епр = 30 кВ/см. Какая доля 8 керосина вытечет из конденсатора к моменту пробоя конденсатора?

6- Оцените приближенно электрическую емкость тела человека.

Найдите емкость металлического шара радиусом г, окруженного прилегающим концентрическим слоем диэлектрика с внешним радиусом R и диэлектрической проницаемостью є.

К пластинам плоского конденсатора, находящимся на расстоянии d, = 1 см друг от друга, приложена разность потенциалов U = 300 В. В пространство между пластинами помещается плоскопараллельная пластина из стекла толщиной d1 = 0,3 см и плоскопараллельная пластина из парафина толщиной d2 = 0,7 см.

Определите емкость конденсатора с трехслойным диэлектриком, диэлектрические проницаемости слоев равны

є2, Eg (рис. 1.115). Толщина каждого диэлектрика (слоя)

равна d. Площадь пластин S.

Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга (d мало по сравнению с размерами пластин). Площадь каждой из пластин равна S. Пластина 1 соединена проводником с пластиной 3, а от пластин 2 и 4 сделаны выводы (рис. 1.116). Определите емкость С такого конденсатора.

Определите емкость С батареи конденсаторов, схематически изображенной на рисунке 1.117. У каждого конденсатора указано значение его емкости, выраженное в микро-фарадах.

?

Рис. 1.115

Рис. 1.116

А

Рис. 1.117 Рис. 1.118

Из проволоки сделан куб, в каждое ребро которого включено по одному конденсатору емкостью С (рис. 1.118). Найдите емкость получившейся батареи конденсаторов, если она включается в цепь проводниками, присоединенными к вершинам А и В куба.

Имеется N точек в пространстве. Между каждой парой точек включен конденсатор емкостью С. Найдите емкость образовавшейся батареи конденсаторов, если она включается в цепь выводами, присоединенными к двум произвольным точкам.

Плоский конденсатор емкостью С = 15 пФ зарядили до разности потенциалов U = 100 В, затем отключили от источника и погрузили полностью в жидкий диэлектрик (є = 1,5). Определите изменение энергии конденсатора ДW .

Три конденсатора емкостью С = 1 мкФ каждый соединены последовательно. Конденсаторы зарядили и отключили от источника. Заряд этой батареи q = 10~4 Кл.

Затем пространство между обкладками одного из конденсаторов заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью є = 2. Найдите энергию, запасенную в электрическом поле этих конденсаторов, и напряжение на зажимах батареи после заполнения диэлектриком одного из конденсаторов.

Энергия заряженного плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, равна Wp = 2 • Ю-5 Дж. После отключения конденсатора от источника напряжения диэлектрик из конденсатора вынули, совершив при этом работу А = = 7 • 1СГ5 Дж. Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика.

Сделаем в пластинах плоского конденсатора два малых отверстия — одно напротив другого. Пусть через одно из отверстий в заряженный конденсатор влетает с небольшой начальной скоростью частица так, чтобы электрическое поле конденсатора ускоряло ее (рис. 1.119).

Пролетев через конденсатор, частица вылетает из другого отверстия, приобретая дополнительную энергию ДWp = qU, где q — заряд частицы, a U — разность потенциалов на пластинах конденсатора. Теперь с помощью магнитного поля направление движения частицы изменяется таким образом, чтобы она снова влетела через первое отверстие в конденсатор (см. рис. 1.119). (В главе 4 вы узнаете, что сила, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу, не совершает работы.) При повторном пролете через конденсатор частица вновь приобретает дополнительную энергию AWp, в следующем цикле — еще AWp и т. д. Получается циклический ускоритель, который не нуждается в источнике энергии! Где ошибка в приведенных рассуждениях?

Рис. 1.119

С

Два конденсатора емкостью и С2 заряжены до разности потенциалов U1 и U2 (U1 * U2). Докажите, что при параллельном соединении этих конденсаторов их общая энергия уменьшается. Объясните, почему происходит уменьшение энергии.?

X

Рис. 1.120

Две прямоугольные пластины длиной I и площадью S расположены параллельно друг другу на расстоянии d (плоский конденсатор). Пластины заряжены до разности потенциалов U. В пространство между пластинами втягивается диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е. Толщина диэлектрика равна d, его ширина равна ширине пластин, а длина больше I (рис. 1.120). Трение отсутствует. Найдите зависимость силы, действующей на диэлектрик со стороны поля, от расстояния х.

Решите задачу 19 при условии, что разность потенциалов

между пластинами поддерживается постоянной и равной U.

* * *

Мы потратили довольно много времени на изучение электричества, а рассмотрели лишь простейший частный случай неподвижных заряженных тел — электростатику. Может быть, не стоило уделять электростатике такое большое внимание? Нет, стоило! Мы ввели важнейшие понятия, используемые во всей электродинамике: «электрический заряд», «электрическое поле», «потенциал» и «разность потенциалов», «электрическая емкость», «энергия электрического поля». На простом частном случае выяснить суть этих фундаментальных понятий не так трудно, как в общем случае движущихся зарядов.

Теперь перейдем к изучению электромагнитных процессов, наблюдаемых при движении заряженных частиц.