2.3. Теорема Остроградского — Гаусса

Заряд — величина скалярная, поэтому, переходя к неточечным зарядам легко представить каждый неточечный заряд алгебраической суммой точечных зарядов. Сложнее дело обстоит с напряжённостью.

В векторном анализе существует теорема, позволяющая избежать этой трудоемкой задачи, заменив ее сложением скалярной величины. Речь идет о теореме Гаусса, которая позволяет вычислить скалярную величину — поток любого вектора через произвольно выбранную поверхность. Для начала запишем поток вектора напряжённости, следуя определению потока (1.2):

dФ == Edacosa

(2.13)

Напомним, что — элемент поверхности, а a — угол между нормалью к ней и вектором напряжённости. Как видим, понятие потока даёт возможность связать векторную величину — напряжённость, со скалярной — потоком.

Далее приводим формулировку и доказательство теоремы.

Поток вектора напряжённости электростатического поля через любую, но замкнутую поверхность, равен суммарному заряду Q, охватываемому этой поверхностью, делённому на ee₀:

.

(2.14)

Докажем справедливость этого утверждения.

1. Рассмотрим сначала случай, когда Q — точечный заряд. Окружим его поверхностью произвольной формы и выделим на ней элемент . И поверхность, и элемент изображены на рис. 2.4. Рис. 2.5 поясняет, что любой элемент da может быть заменен элементом, нормальным к силовой линии,

.

(2.15)

Равенство получено заменой в (2.13) произведения dacosa на da_n. Правомерность этого очевидна из рис.

Заменив в полученном выше равенстве напряжённость Е её значением (2.12) для поля точечного заряда, получим

.

(2.16)

Величину da_n можно заменить через элемент телесного угла dq, пользуясь известным из математики соотношением:

Справедливость последнего очевидна из рис. 2.5а. С увеличением r растет и элемент поверхности, взятый в том же телесном угле dq. Заменив da_n, получим

(2.18)

или, интегрируя по полному телесному углу, равному 4p,

.

(2.19)

Теорема доказана для случая, когда внутри замкнутой поверхности (рис. 2.4) находится точечный заряд.

2. Теперь рассмотрим случай, когда внутри поверхности заключен заряд, нанесенный на тело произвольной формы. Его всегда можно рассматривать как сумму точечных разрядов:

Поток напряжённости каждого из точечных зарядов может быть найден по теореме Гаусса:

.

(2.21)

Общий поток в силу скалярности этой величины будет равен сумме потоков:

.

(2.22)

Заменяя в последнем равенстве сумму зарядов общим зарядом Q, заключенном в замкнутой поверхности, получим уравнение (2.14), то есть выражение, которое следовало доказать.