§ 4.5. ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА

Перейдем теперь к формулировке закона, определяющего распределение магнитного поля в пространстве в зависимости от токов. Будем считать вначале, что проводники с токами расположены в вакууме.

Магнитная индукция в произвольной точке А пространства, очевидно, должна зависеть от сил токов в проводниках, их размеров и формы, а также от расположения проводников относительно этой точки (рис.

Элемент тока

Считаем проводники тонкими. Это означает, что диаметры всех проводников много меньше расстояний до точки, где определяется магнитная индукция. Тогда любой проводник можно представить как совокупность элементов тока АI пре-небрежимо малой толщины. Элемент АІ — это вектор, направ-ленный по току в проводнике (см. рис. 4.33).

А

Каждый элемент тока AI создает свое магнитное поле в точке А. Результирующее поле в точке, как следует из принципа суперпозиции полей, — это векторная сумма полей, созданных отдельными элементами тока.? Трудности задачи

В опытах с постоянными токами мы всегда имеем дело с токами замкнутыми, следовательно, с полями, создаваемыми всеми элементами тока. Нам же нужен закон, определяющий магнитную индукцию, созданную одним элементом тока. Только такой закон может иметь общее значение. Для каждого конкретного замкнутого проводника с током магнитная индукция зависит от формы проводника, а таких форм может быть бесчисленное множество. Никакой общей закономерности для поля в точке здесь усмотреть нельзя. Точно так же основной закон электростатики — закон Кулона — формулируется для точечных зарядов.

Зная магнитную индукцию АВ, созданную элементом тока, можно вычислить индукцию В любого тока в любой точке пространства.

Но нахождение закона для АВ сразу же наталкивается на трудности. Нельзя создать элемент тока (незамкнутый постоянный ток).

Далее, эксперименты французских физиков Ж. Био и Ф. Са- вара показали, что индукция магнитного поля, созданного прямым током, на расстоянии d, много меньшем длины проводника, пропорциональна ^ . Направление АВ определяется

по правилу буравчика (см. § 3).

Отсюда следует, что для АВ нужно найти такой закон, который при суммировании по всем элементам прямого провода давал бы найденную экспериментально зависимость от I и d. Это удалось сделать П. Лапласу. Отыскивая простейшую формулу, приводящую к известному результату, он получил требуемый закон.

Найденную Лапласом формулу для АВ следует рассматривать как обобщение опытных фактов. Уверенность в ее справедливости вытекает не из ее «вывода», а из того, что все расчеты полей любых замкнутых токов на ее основе приводят к правильным результатам, согласующимся с опытом.

Рис. 4.34

Закон Био—Савара—Лапласа

Теперь мы запишем выражение для модуля магнитной индукции АВ поля, созданного элементом тока АI в точке пространства Л на расстоянии г от АI (рис. 4.34). Угол между радиусом-вектором г и А1 обозначим через а. Сила тока равна I. Согласно закону Био—Савара—Лапласа

IAlsina ...

5—. (4.5.1)

AB = k

1

Здесь k^ — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. (Системами единиц мы займемся в дальнейшем.) Направлен вектор АВ перпендикулярно плоскости, содержащей векторы А1 и г. Если вращать рукоятку буравчика от А1 к г в направлении наименьшего угла между этими векторами, то поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора АВ. В случае, изображенном на рисунке 4.34, вектор АВ направлен перпендикулярно чертежу от нас.

Векторное произведение

Закон Био—Савара—Лапласа можно записать в векторной форме, используя понятие векторного произведения двух векторов.

Модуль с векторного произведения векторов а и b равен произведению их модулей на синус угла а между ними (рис. 4.35):

с = \а х b\ = ab sin а. (4.5.2)

Направление векторного произведения задается правилом правого буравчика (или винта). Если рукоятку буравчика поворачивать на наименьший угол от вектора а, стоящего первым в векторном произведении, к вектору Ъ, то вектор с направлен в сторону поступательного перемещения буравчика. Таким образом, вектор с перпендикулярен плоскости, содержащей векторы aub.

Конечно, нужно еще доказать, что направленный отрезок с является вектором, т. е. для векторного произведения выполняется геометрическое правило сложения векторов. Но мы это делать не будем. Не будем также приводить выражения для проекций векторного произведения на оси координат. Эти вы-ражения довольно сложны, и в дальнейшем мы не будем их использовать.

Отметим лишь, что векторное произведение некоммутативно:

ахЪ = -Ъха. (4.5.3)

Это следует из определения направления векторного произведения.

Закон Био—Савара—Лапласа в векторной форме

Используя понятие векторного произведения, закон Био— Савара—Лапласа можно записать в векторной форме. В этом случае сразу будет определен и модуль вектора магнитной индукции АВ и его направление:

AB = kx "Ье- . (4.5.4)

г

Модуль магнитной индукции

. „ , I Air sin а , /AZsina

АВ = кг j = 2 '

г г

как это и должно быть согласно закону (4.5.1). Направление АВ также определено правильно.

Магнитная индукция прямого тока AL

Рис.

Для вычисления магнитной индукции бесконечно длинного прямого провода в произвольной точке А, находящейся на расстоянии d от провода, нужно просуммировать векторы ДВ. магнитных индукций, создаваемых отдельными элементами тока Alt (рис. 4.36). Суммирование упрощается благодаря тому, что векторы ДВг от отдельных элементов тока направлены в одну сторону — перпендикулярно рисунку от нас. Тем не менее вычисления требуют умения находить сумму бесконечно большого числа бесконечно малых членов. Этот способ вычисления называется интегрированием. Мы приведем конечный результат:

B = (4.5.5)

Формула (4.5.5) дает правильное значение магнитной индукции и для прямого провода конечной длины. Необходимо только, чтобы расстояние d было много меньше длины провода и точка, в которой определяется индукция поля, находилась на большом расстоянии от концов провода.

Установлен закон Био—Савара—Лапласа, определяющий магнитную индукцию элемента тока.