Границя функції. Неперервність функції. Основні теореми про границі.

Границею функції при називають число b, якщо яке б не було додатне число, можна знайти такий номер N, що для всіх х, більших N, виконується нерівність

Границю функції записують у вигляді

Границею функції при називають число b, якщо для довільного додатного знайдеться таке , що якщо виконується нерівність , то матиме місце також нерівність .

У цьому випадку границю функції записують у такому вигляді:

Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

, або . (2.7)

Теореми про границі функцій. Властивості границь

1) Якщо функції f(x) і g(x) мають границі при x, який прямує до a, то функції f(x)±g(x), f(x)?g(x), f(x)g(x) також мають границі при x, який прямує до a і

limx→a((f(x)±g(x))=limx→af(x)±limx→ag(x),

limx→a((f(x)?g(x))=limx→af(x)?limx→ag(x),

limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x).

В останньому випадку припускається, що функція g(x) не перетворюється в нуль в досить малому околі точки a і

limx→ag(x)≠0.

2) Якщо при x, що прямує до a, функція f(x) має границю, рівну A, і ця границя більше числа c, то для достятньо близьких до a значень x функція f(x) задовільняє нерівність f(x)>c. 11.