<<
>>

Нормальный закон распределения.

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F(x).

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции.

Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к.

разность

(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x = m + s и x = m – s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно .

Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Нормальный закон распределения.:

  1. Раздел 3. Нормальный закон распределения случайной величины
  2. 3.1. Нормальный закон распределения случайной величины
  3. 5.5. Выявление различий в распределении признака. X-критерий Пирсона
  4. 1 .4. Основные законы распределения случайных величин
  5. Непрерывные распределения вероятностей
  6. 1.5. Выбор теоретического закона распределения случайной величины
  7. Сильная юстиция - веление времени Интервью журналу "Социалистическая законность", апрель 1990 г.
  8. Материальная обусловленность и экономическая значимость законодательства
  9. Нормальный закон распределения.
  10. Статистические оценки параметров распределения
  11. Подбор функции распределения
  12. Интервальные оценки параметров распределения
  13. НОРМАЛЬНЫЙ (ГАУССОВСКИЙ) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
  14. Нормальный закон распределения
  15. Свойства случайной величины, распределённой по нормальному закону
  16. 4.6. Нормальный закон распределения.