Нормальный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами m и s, если её плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по нормальному закону, равно параметру m этого закона, т.е.

а её дисперсия — равна параметру s этого закона в квадрате, т.е.

Среднее квадратическое отклонение — это и есть параметр s этого закона, т.е.

Нормальная (гауссова) кривая (график плотности вероятности) w(x) случайной величины X:

Нормальная кривая симметрична относительно прямой x = m, имеет максимум в точке x = m, равный

и две точки перегиба x = m ± s с ординатой

Поскольку площадь, ограниченная кривой распределения всегда равна единице, то с возрастанием s нормальная кривая становится более пологой, растягивается вдоль оси Ox.

Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, рост человека, ошибки стрельбы, вес клубней картофеля, величина шума в радиоприёмном устройстве и т.д.

Нормальный закон распределения с параметрами m = 0 и s = 1 называется стандартным (нормированным), а соответствующая нормальная кривая — стандартной (нормированной).

Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределённой по нормальному закону, по формуле

и вероятности её попадания на некоторый промежуток по формуле

не выражается через элементарные функции.

Поэтому их выражают через функцию Лапласа

для которой составлены таблицы. Геометрически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке [-x; x].

Функция распределения случайной величины X, распределённой по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле: