Поверхностные интегралы второго рода.
Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней.
Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней.
Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.
Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью.
Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.
– поверхностный интеграл второго рода.
Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.
Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.
Если S– цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то 
.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере.
Пример. Вычислить интеграл 
по верхней стороне полусферы
Преобразуем уравнение поверхности к виду: 
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
(См. Двойной интеграл в полярных координатах.)
, 
Еще по теме Поверхностные интегралы второго рода.:
- Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
- Поверхностные интегралы первого рода.
- Криволинейные интегралы второго рода.
- Свойства поверхностного интеграла первого рода.
- Теорема 41. Познание первого рода есть единственная причина ложности, познание же второго и третьего рода необходимо истинно.
- Теорема 28. Стремление или желание познавать вещи по третьему способу не может возникать из первого рода познания, из второго же рода возникнуть может.
- Проекты первого и второго рода
- Ошибки первого и второго рода
- Свойства криволинейного интеграла второго рода.
- Практическое занятие №4 «Вычисление интегралов. Приложения интегралов»
- Теорема 42. Познание второго и третьего рода, но не первого, учит нас отличать истинное от ложного.
- 3.3. Исследование влияния положения полей допусков значений контролируемых параметров, а также методической и эксплуатационной составляющих погрешности на величины ошибок первого и второго рода при использовании алгоритма диагностирования.
- 3.2. Исследование влияния дополнительных погрешностей значений контролируемых параметров на величины ошибок первого и второго рода при косвенном контроле технического состояния ЛТС
- 3.1. Исследование влияния дополнительных погрешностей значений контролируемых параметров на величины ошибок первого и второго рода при прямом контроле технического состояния АТС.
- 2.5. Определение математических зависимостей для расчета вероятностей ошибок первого и второго рода в условиях повторяемости, промежуточной прецизионности и воспроизводимости при реализации стандартного метода измерений.