12. Ур-ем с разделяющимися переменными

назыв ур-е вида где и - непрерывные ф-ии (x1,x2), (y1, y2).

Замеч: При разделении переменных мы делили на ф-ю f2(y), предполагая,что на соответствующем промежутке она в 0 не обращается. Поэтому,чтобы найти все решения ур-я учитывают и нули ф-ии f2(y).

К ур-ям с разделяющимися переменными сводятся и ур-я вида: Чтобы свести к ур-ю с разделяющимися переменными сделаем замену тогда . Получим , ; ; .

13. Ф-ия f(x, y) назыв однородной ф-ей kго-измерения, if при параметре t выполн-ся равенство: f(tx,ty)=tkf(x,y)

Однородным ур-м 1 порядка назыв ур-е вида , где а(чбн)-однородная ф-ия нулевого измерения.

Однородную ф-ию нулевого измерения всегда можно предстваить в виде f(x,y)=f(x/y). Поэтому однород ур-е-это ур-е вида: . Чтобы свести однородное ур-е к ур-ю с разделяющимися переменными делают замену y/x=t(x).

14. К ур-ям сводящимся к однородным относятся ур-я вида: (1). C1или С2≠0. Д/того,чтобы свести ур-е (1) к однородному делается замена переменной: где

(2) .Т.о.решая сист-у(2) получаем значение x0,y0, т.е. выражения ю При подстановке (3) . Подставляя в (1), получаем, что =f()=f()=f(

15. , где a(x) и b(x)- произвольные ф-ии, т.е. линейным ДУ 1порядка назыв ур-е, линейное относит-о неизвестной ф-ии и её производной.

УР-е (1) сводится к двум ур-ям с разделяющимися переменными путем искусств-го приема. Представим неизв ф-ию в виде произв y(x)=U(x)V(x) одной из ф-ий U//V мы можем распоряж как угодно, а 2 ф-ия д-б определена в зависимости от 1 т.о. , чтобы их проиведение удовлетворяло ур-ю (1). Именно, поступают след образом. Решение ищем в виде .

(2) Полагая,что (, т.е. решая ур-е, кот явл ур-м с разделяющимися переменными. Подставляем найден ф-ию V в ур-е (2), получаем , т.к. V найдена и зависит от x. U=φ(x)+C. Реш-м ур-я (1) формируется из найденных ф-ий y(x)=U(x)V(x).