7.4. Анализ моделей на чувствительность

При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую исследователю проанализировать влияние возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение. Динамические характеристики моделей фактически отображают аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие методов, позволяющих выявлять влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное (статическое) решение устареет еще до своей реализации. Для проведения анали- за модели на чувствительность с успехом могут быть использованы графические методы .

Рассмотрим основные задачи анализа на чувствительность на примере 7.10.

Задача 1. Анализ изменений запасов ресурсов.

После нахождения оптимального решения представляется вполне логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов. Для этого необходимо ответить на два вопроса:

На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции Z?

На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции Z?

Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицируем ограничение линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные) ограничения.

Если некоторое ограничение является связывающим, то соответствующий ресурс относят к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке). В нашем примере несвязывающими ограничениями являются (2) и (4). Следовательно, ресурс — сырье В - недефицитный, т. е. имеется в избытке, а спрос на продукцию П2 не будет удовлетворен полностью (в таблице — ресурсы 2 и 4).

При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются:

предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;

предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное значение целевой функции.

В нашем примере сырье А и соотношение спроса на выпускаемую продукцию П{ и /72 являются дефицитными ресурсами (в табл. 7.3 — ресурсы 1, 3).

Рассмотрим сначала ресурс - сырье А. На рис. 7.7 при увеличении запаса этого ресурса прямая Lx перемещается вверх, параллельно самой себе, до точки К, в которой пересекаются линии ограничений L2, L3 И L4. В точке ^ограничения (2), (3) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится многоугольник АКДО. В точке К ограничение (1) (для ресурса А) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение.

Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение (1) становится избыточным, т.

щим образом. Устанавливаются координаты точки К, в которой пе-ресекаются прямые L2> L3 И L4, Т. е. находится решение системы уравнений

3X!+2X2=13; xi х2=і; х2 =2.

В результате получается хх = 3 и х2 = 2. Затем, путем подстановки координат точки А'в левую часть ограничения (1), определяется максимально допустимый запас ресурса А:

2хх + Зх2 - 2 • 3 + 3 • 2 =12.

Рис. 7.8 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос об изменении соотношения спроса на продукцию Пх и #2.

Новой оптимальной точкой становится точка Е, где пересекаются прямые Lx и Ь2. Координаты данной точки находятся путем решения системы уравнений (1) и (2) следующим образом:

|2х!+3х2=9;

[Зх1+2Х2=13.

В результате получается хх = 4,2; х2 = 0,2, причем суточный спрос на продукцию П{ не должен превышать спрос на продукцию П2 на величину Xj — х2 = 4,2 — 0,2 = 4 ед.

Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию Пх и П2 не будет влиять на оптимальное решение.

Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязываю- щих ограничений. Ограничение (4) х2 < 2 фиксирует предельный уровень спроса на продукцию Я2. Из рис. 7.5 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую Z,4 (АВ) можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой С. Так как точка С имеет координаты Xj = 2,4; х2 = 1,4, уменьшение спроса на продукцию П2 до величины х2 = 1,4 никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения.

Рассмотрим ограничение (2) 3xj + 2х2 < 13, которое представляет собой ограничение на недефицитный ресурс - сырье В. И в этом случае правую часть — запасы сырья В — можно уменьшать до тех пор, пока прямая Ь2 не достигнет точки С. При этом правая часть ограничения (2) станет равной 3xj + 2х2 = 3 • 2,4 + 2 • 1,4 = 10,0, что позволяет записать это ограничение в виде: 3xj + 2х2 < 10. Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не изменится, если суточный запас ресурса В уменьшить на 3 ед.

Результаты проведенного анализа можно свести в табл. 7.3:

Таблица 7.3 Ресурс Тип ресурса Максимальное изменение запаса ресурса, ед. Максимальное увеличение дохода от изменения ресурса, у.

Задача 2. Определение наиболее выгодного ресурса.

В задаче 1 анализа на чувствительность мы исследовали влияние на оптимум увеличения объема дефицитных ресурсов. При ограничениях, связанных с дополнительным привлечением ресурсов, естественно задать вопрос: какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств? Для этого вводится характеристика ценности каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса, выражаемая через соответствующее приращение оптимального значения целевой функции. Такую характеристику для рассматриваемого примера можно получить не-посредственно из таблицы, в которой приведеш>і результаты решения задачи 1 на чувствительность. Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса і через yt. Величина у,- определяется из соотношения

Максимальное приращение Z у.= .

Максимально допустимый прирост ресурса /

Результаты расчета ценности единицы каждого из ресурсов представлены в табл. 7.4:

Таблица 7.4 Ресурс і Тип ресурса Значение у І 1(A) Дефицитный 4,2/3 = 1,4 2(B) Недефицитный 0/(-3) =0 3 Дефицитный 0,6/3 = 0,2 4 Недефицитный 0/(—0,6) = 0

Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополни-тельные вложения в первую очередь следует направить на увеличе-ние ресурса А и лишь затем — на формирование соотношения спроса на продукцию П{ и продукцию /72. Что касается недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их объем увеличивать не следует.

Задача 3. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции.

Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон прямой, которая представляет эту функцию в принятой системе координат. Вариация коэффициентов целевой функции может привести к изменению совокупности связывающих ограничений и, следовательно, статуса того или иного ресурса (т.

При анализе модели на чувствительность рассмотрение коэффициентов целевой функции необходимо дополнить исследованием следующих вопросов:

каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения?

на сколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы сделать некоторый недефицитный ресурс дефицитным, и, наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицитным?

Ответим на поставленные вопросы на нашем примере.

Рассматривая первый вопрос, обозначим через сх и с2 доходы предприятия от продажи единицы продукции #! и П2 соответственно. Тогда целевую функцию можно представить в следующем виде:

Z = CjXJ + С2*2.

На рис. 7.5 видно, что при увеличении сх или уменьшении с2 прямая, представляющая целевую функцию Z, вращается (вокруг точки С) по часовой стрелке. Если же сх уменьшается или с2 увеличивается, эта прямая вращается в противоположном направлении — против часовой стрелки. Таким образом, точка С будет оставаться оптимальной точкой до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за пределы, определяемые наклонами прямых для ограничений (1) и(3).

Когда наклон прямой Z станет равным наклону прямой Lb получим две альтернативные оптимальные угловые точки — С и В. Аналогично, если наклон прямой Z станет равным наклону прямой для ограничения (3), будем иметь альтернативные оптимальные угловые точки Си/). Наличие альтернативных оптимумов свидетельствует о том, что одно и то же оптимальное значение Z может достигаться при различных значениях переменных хх и х2. Как только наклон прямой выйдет за пределы указанного выше интервала Cj, получим некоторое новое оптимальное решение.

Рассмотрим на нашем примере, каким образом можно найти допустимый интервал изменения q, при котором точка С остается оптимальной. Исходное значение коэффициента с2 = 4 оставим неизменным. На рис. 7.5 видно, что значение q можно уменьшать до тех пор, пока прямая Z не совпадет с прямой Ьх (отрезок ВС).

Это крайнее минимальное значение коэффициента q можно определить из равенства углов наклонов прямой ZH прямой Lx.

как тангенс угла наклона для прямой Z равен —, а для прямой (1)

4

равен - то минимальное значение q определим из равенства с\ 2 • 8 „ - с

"т = т> откуда mm сх =—. На рис 7.5 видно, что значение q мож- 4 3 3

но увеличивать беспредельно, так как прямая Z при с2 = 4 и q —> °° не совпадает с прямой Z,3 (отрезок DC) и, следовательно,

8

точка С при всех значениях коэффициента q > — будет единствен-ной оптимальной.

Интервал изменения q, в котором точка С по-прежнему остается единственной оптимальной точкой, определяется неравенст-

8 8 вом jбудут как точка С, так и точка В. Как только коэффициент q ста-

о

новится меньше — , оптимум смещается в точку В.

Можно заметить, что, как только коэффициент q оказывается

о

меньше Z , ресурс 3 становится недефицитным, а ресурс 4 - де- 3

фицитным. Для предприятия это означает следующее: если доход

ГГ 8

от продажи единицы продукции Пх станет меньше j д. е., то наи-более выгодная производственная программа предприятия должна предусматривать выпуск максимально допустимого количества про-дукции П2 (полностью удовлетворять спрос на продукцию П2).

При этом соотношение спроса на продукцию Пх и П2 не будет лимитировать объемы производства, что обусловит недефицитность

о

ресурса (3). Увеличение коэффициента q свыше — д. е. не снимает проблему дефицита ресурсов (1) и (3). Точка С — точка пересечения прямых Ьхи — остается все время оптимальной.