4.2.ОРГАНИЗАЦИЯОБСЛУЖИВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

В зависимости от вида вычислительной системы (одно- или многомашинной), в которой организуется и планируется процесс обработки данных, возможны различные методы организации и обслуживания очередей заданий.

При организации обслуживания вычислительных задач на логическом уровне создается модель задачи обслуживания, которая может иметь как прямой, так и обратной (оптимизационный) характер. При постановке прямой задачи се условиями являются значения параметров вычислительной системы, а решением — показатели эффективности ОВП. При постановке обратной, или оптимизационной, задачи условиями являются значения показателей (или показателя) эффективности ОВП, а решением — параметры вычислительной системы (ВС).

В общем случае момент появления заданий в вычислительной системе является случайным, случайным является и момент окончания вычислительной обработки, так как заранее не известно, по какому алгоритму, а значит, и как долго будет протекать процесс. Тем не менее для конкретной системы управления всегда можно получить статистические данные о среднем количестве поступающих в единицу времени на обработку в ВС вычислительных задач (заданий), а также о среднем времени решения одной задачи. Наличие этих данный позволяет формально рассмотреть процедуру организации вычислительного процесса с помощью теории систем массового обслуживания (СМО). В этой теории при разработке аналитических моделей широко используются понятия и методы теории вероятности.

На рис. 4.2 изображена схема организации многомашинной вычислительной системы, где упорядочение очереди из потока заданий осуществляется диспетчером Д1. а ее обслуживание ЭВМ — через диспетчера Д2.

Такая система может быть охарактеризована как система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Под дискретными состояниями понимается то, что в любой момент система может находиться только в одном состоянии, а число состояний ограничено (может быть пронумеровано). Говоря о непрерывном времени, подразумевают, что границы переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, и переход может произойти в принципе в любой момент.

Рис. 4.2. Схема организации обслуживания заданий в многомашинной вычислительной системе

Система (в нашем случае вычислительная система) изменяет свои состояния под действием потока заявок (заданий) — поступающие заявки (задания) увеличивают очередь. Число заданий в очереди плюс число заданий, которые обрабатываются ЭВМ (т.е. число заданий в системе)., — это характеристика состояния системы. Очередь уменьшается, как только одна из машин заканчивает обработку (обслуживание) задания. Тотчас же на эту ЭВМ из очереди поступает стоящее впереди (или по какому-либо другому приоритету) задание и очередь уменьшается. Устройства обработки заявок в теории систем массового обслуживания называют каналами обслуживания. В этой теории поток заданий (заявок на обслуживание) характеризуется интенсивностью X — средним количеством заявок, поступающих в единицу времени

(например, в час). Среднее время обслуживания (обработки) одного задания /0бсл определяет так называемую интенсивность потока обслуживания р.:

%бсл

т. е. р показывает, сколько в среднем заданий обслуживается системой в единицу времени. Следует напомнить, что моменты появления заданий и моменты окончания обслуживания случайны, а интенсивности потоков являются результатом статистической обработки случайных событий на достаточно длинном промежутке времени и позволяют получить хотя и приближенные, но хорошо обозримые аналитические выражения для расчетов параметров и показателей эффективности системы массового обслуживания.

Пример.

Рассмотрим модель обслуживания вычислительных заданий в системе (см. рис. 4.2), введя следующие предположения:

• в системе протекают марковские случайные процессы;
• потоки событий (появление заданий и окончание их обработки) являются простейшими;
• число заданий в очереди не ограничено, но конечно.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским (по фамилии русского математика), если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Реально марковские случайные процессы в чистом виде в системах не протекают. Тем не менее реальный случайный процесс можно свести при определенных условиях к марковскому. А в этом случае для описания системы можно построить довольно простую математическую модель.

Простейший поток событий характеризуется стационарностью, ординарностью и "беспоследействием'7. Стационарность случайного потока событий означает независимость во времени его параметров (например, постоянных интенсивностей Я и ц). Ординарность указывает на то, что события в потоке появляются поодиночке, а "беспоследей- ствие"— на то, что появляющиеся события не зависят друг от друга (т. е. поступившее задание не обязано своим появлением предыдущему).

Третье предположение позволяет не ограничивать длину очереди (например, не более десятью заявками), хотя и содержит в себе требования конечности, т.е. можно посчитать число заявок в очереди.

Обозначим состояния рассматриваемой вычислительной системы: So — в системе нет заданий;

S\ — в системе одно задание, и оно обрабатывается на ЭВМ 1;

S2 — в системе два задания, и они обрабатываются на ЭВМ 1 и ЭВМ 2;

Sn — в системе п заданий, и они обрабатываются на ЭВМ 1, ЭВМ 2,..., ЭВМ У;

Sn + 1 — в системе (л + 1) заданий, п заданий обрабатываются ЭВМ, а одно стоит в очереди;

Sn +2 — в системе (и + 2) заданий, два задания стоят в очереди;

Sn + т — в системе (п + т) заданий, т заданий стоят в очереди.

Учитывая, что увеличение числа заявок (заданий) в системе (т.е. номера состояния) происходит под воздействием их потока с интенсивностью X, а уменьшение — под воздействием потока обслуживания с интенсивностью ц, изобразим размеченный граф состояний нашей системы (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Граф состояний многоканальной системы обслуживания с неограниченной очередью

Здесь окружности — состояния, дуги со стрелками — направления переходов в следующие состояния. Дугами помечены интенсивности потоков событий, которые заставляют систему менять состояния. Переходы слева направо увеличивают номер состояния (т. е. число заявок в системе), справа налево — наоборот. Как уже указывалось, увеличение числа заявок в системе происходит под воздействием входного потока заявок с постоянной интенсивностью X. Уменьшение числа заявок в системе (уменьшение номера состояния) происходит под воздействием потока обслуживания, интенсивность которого определяется средним временем обслуживания задания одной ЭВМ и числом ЭВМ, участвующих в обработке заданий при данном состоянии системы. Если одна ЭВМ обеспечивает интенсивность потока обслуживания и. (например, в среднем 30 заданий в час), то одновременно работающие две ЭВМ обеспечат интенсивность обслуживания 2|i. три ЭВМ — 3|Т, п ЭВМ — щ. Такое увеличение интенсивности обслуживания будет происходить вплоть до состояния Sn, когда п заданий параллельно находятся на обработке на п ЭВМ. Появление в этот момент заявки переводит систему в состояние S„ + \, при котором одна заявка стоит в очереди. Появление еще одной — в состояние Л), + 2 и т.д. Интенсивность же потока обслуживания при этом будет оставаться неизменной и равной n(j., так как все ЭВМ вычислительной системы уже задействованы.

При исследовании такой вероятностной системы важно знать значение вероятностей состояний, с помощью которых можно вычислить показатели эффективности, такие, как количество заданий              в              системе,

время ожидания обработки, пропускная способность              и т.д.              Как              извест

но, значение вероятности лежит в пределах от 0 до 1. Так как мы рассматриваем дискретную систему, то в любой момент времени она может находиться только в одном из состояний и, следовательно, сумма вероятностей состояний Р, всегда равна 1, т.е.

где к — число возможных состояний системы; i — номер состояния.

Для того чтобы определить значение Pj(t), приведенной формулы недостаточно. Кроме нее составляется еще система дифференциальных уравнений Колмогорова, решение которой и дает искомые значения Pj(t). Чаще всего реальные вычислительные системы быстро достигают установившегося режима, и тогда вероятности состояний перестают зависеть от времени и практически показывают, какую долю достаточно длинного промежутка времени система будет находиться в том или ином состоянии. Например, если система имеет три возможных состояния: Р\ = 0,2, Рг = 0,6, Рз = 0,1, то это означает, что в состоянии S] система в среднем находится 20% времени, в Si 60%, а в

S3 — 10% времени. Такие не зависимые от времени вероятности называют финальными.

Финальные вероятности системы вычислить уже проще, так как уравнения Колмогорова при этом превращаются в алгебраические.

В нашем случае на основе графа (см. рис. 4.3) для определения финальных вероятностей вычислительной системы может быть записана следующая система алгебраических уравнений:

AP0=fiPi\

{\fi+X)P\ = XP0+2/iP2\

(2д + А)Р2=АЛ+ЗрР3;

(2/2 + A)Pf = ХР;_х + (|' + \)/lPi+l, 1 lt; і lt; п:

(пц + Х)Р„ = АРп_, + пцрп+1; (п/і+Х)Р„+1=ЛР„+п/іРп+2; (n/i + X)Pl^2 = XPn_l + n/iPn+i

(п/л + A)Pn+j = ХРП+Н + n/iP„+j+1, j gt; 1

Это система однородных уравнений (свободный член равен нулю), но благодаря тому, что

система разрешима.

вероятность состояния So, при котором в системе заявок нет;

параметр системы, показывающий, сколько в среднем заявок

приходит в систему за среднее время обслуживания заявки одной ЭВМ (одним каналом обслуживания);

pi =~Flt;)’ r.

где Pj — вероятность состояния Sj\

где Pn — вероятности того, что все ЭВМ заняты;

_ гг+j

Д).

Р = -

гп+;

где Рп +j— вероятность того, что все ЭВМ системы заняты обработкой заданий и/ заявок стоят в очереди.

Приведенные формулы имеют смысл только в том случае, если очередь конечна. Условием конечности длины очереди является

?lt;i.

п

Или если заменить р его выражением через А, и |Д, то

Практически это выражение говорит о том, что в среднем число заданий, приходящих в вычислительную систему в единицу времени, должно быть меньше числа обрабатываемых заданий в единицу времени всеми ЭВМ системы. Если же — gt; 1, то очередь растет до бесконеч-

п

ности и такая вычислительная система не справится с потоком заданий. Вот тут и могут появиться задания, ожидающие обработки вечно.

Основными показателями эффективности рассматриваемой системы являются: среднее число занятых каналов (т.е. ЭВМ) —к, среднее число заданий в очереди — L0ч и в системе — LCHCT, среднее время пребывания задания в системе — ЧСИст и вочереди — 1Гоч:

р:

Как видно, полученная математическая модель довольно проста и позволяет легко рассчитать показатели эффективности вычислительной системы. Очевидно, что для уменьшения времени пребывания задания в системе, а значит, и в очереди требуется при заданной интенсивности потока заявок либо увеличивать число обслуживающих ЭВМ, либо уменьшать время обслуживания каждой ЭВМ, либо и то, и другое вместе.

С помощью теории массового обслуживания можно получить аналитические выражения и при других дисциплинах обслуживания очереди и конфигурациях вычислительной системы. Рассматривая модель обслуживания заданий, мы исходим из предположения, что процессы в системе — марковские, а потоки — простейшие. Если эти предположения неверны, то получить аналитические выражения трудно, а чаще всего невозможно. Для таких случаев моделирование проводится с помощью метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), который позволяет создать алгоритмическую модель, включающую элементы случайности, и путем ее многократного запуска получить статистические данные, обработка которых дает значения финальных вероятностей состояний.

Как указывалось, организация очереди, поддержание ее структуры возлагаются на диспетчера Д1, а передача заданий из очереди на обработку в вычислительные машины, поддержание дисциплины обслуживания в очереди (поддержка системы приоритетов) осуществляются диспетчером Д2 (см. рис. 4.2). В вычислительной системе диспетчеры реализуются в виде управляющих программ, входящих в состав операционных систем ЭВМ.

Появление заданий при технологическом процессе обработки данных является случайным, но при решении задачи по программе должны быть учтены и минимизированы связи решаемой задачи с другими функциональными задачами, оптимизирован процесс обработки по ресурсному и временному критериям. Поэтому составной частью процедуры организации вычислительного процесса является планирование последовательности решения задач по обработке данных.