<<
>>

1.7 Проверка гипотезы о виде распределения. Критерий х2.

Пусть основная гипотеза состоит в том, что наблюдаемая величина имеет конкретное, известное распределение (например, нормальное распределение с заранее заданными параметрами a, а2).
Предположим, что значения нашей величины разбиты на группы Ді,..., Дг и pi, ...,pr - вероятности попадания величины, имеющей требуемое распределение, в каждую из групп соответственно. Естественно, при этом предполагается, что Pi = 1-

Обозначим, как и раньше, через ni, i = 1,..., r количества элементов выборки, попавших в каждую из групп. Статистикой хи-квадрат называется

Если рассчитанное значение х2 меньше, чем критическая точка распределе- r— 1

принимается.

Как видно из формулы, все вычислительные трудности сводятся к расчету чисел pi. Если, например, проверяется гипотеза о стандартном нормальном распределении, и Ді = [zi-1, Zj], то pi = Ф(^і) — Ф(гі-1). Если рассматривается гипотеза о нормальном характере распределения, и параметры его неизвестны, а именно такая гипотеза в приложениях встречается наиболее часто, то следует положить

(1.1)

и число степеней свободы распределения хи-квадрат уменьшается на число параметров, которые мы заменили их оценками (а их два). Этот результат следует из более общей теоремы Фишера, которую здесь мы обсуждать не будем.

Итак, для того, чтобы проверить гипотезу о нормальном характере выборки, нужно произвести ее группировку, используя z0 = —ж, zr = топ заполнить следующую таблицу:

строка содержание способ вычисления 1 по выборке 2 Zj-X S по строке 1 и выборке 3 ф (-X) по таблице Ф(х) и строке 2 4 Pj по формуле (1.1) и строке 3 5 npj по строке 4 6 nj по выборке 7 (nj — nPj)2 по строкам 5, 6 8 ("j-nPj )2

"Pj по строкам 7, 5 Сумма последней, восьмой строки и есть значение статистики х2- Оно сравнивается с критической точкой распределения хп-квадрат с r — 3 степенями свободы, где r - окончательное число групп.

Рассмотрим числовой пример, группировка для которого уже была проведена.

Это данные о колебании руки оператора. Напомним, что в этой выборке X = 62,45, S = 7,48. Границы первого и последнего интервалов заменяем бесконечными. Составляем таблицу. 1 52,61 58,47 64,33 70,19 TO 2 Zj-X S —то -1,31 -0,53 0,25 1,03 TO 3 ф (-X) 0 0,090 0,300 0,580 0,850 1 4 Pj 0.090 0,210 0,280 0,270 0,150 5 npj 9 21 28 27 15 6 nj 7 19 39 22 13 7 (nj — nPj)2 4 4 121 25 4 8 ("j-"Pj)2 "Pj 0,444 0,190 4,321 0,926 0,267 Заметим, что строки, начиная с четвертой, не полны, поскольку интервалов на один меньше, чем их границ. Сумма последней строки х2 = 6,149. Число степеней свободы 5-3 = 2. Критическая точка по таблице - 5,99. Поэтому формально гипотезу о нормальном характере распределения следует отвергнуть. Однако следует иметь ввиду два обстоятельства - близость расчетного и критического значений, а также то, что группировка, используемая здесь, проведена с нарушением одного из двух основных принципов - имеются "перенаселенные"интервалы. Внимательное изучение таблицы показывает, что именно один из них дает самый существенный вклад х2

группировке из п. 4, который показывает, что гипотезу следует принять.

х2

мер, гипотезу однородности, которая состоит в отсутствии существенных различий в поведении двух наблюдаемых величин. Рассмотрим эту задачу.

Пусть даны две выборки: X объема n и Y объема m. Основная гипотеза состоит в том, что распределения двух наблюдаемых величин совпадают, т.е. фактически наблюдается одна величина. Для проверки объединим две

выборки в одну объема п + m, осуществим ее группировку и заполним таблицу, называемую таблицей сопряженности. интервал 1 r всего число элементов X -1 nr n число элементов У mi mr m всего —1 + mi nr + mr n + m Затем рассчитываем

(Г 2 r 2 \

i=1 -(-і + mi) i=1 m(-i + mi) у

и сравниваем с критической точкой распределения хи-квадрат с r — 1 степенью свободы. Если соответствующее критическое значение не превзойдено, гипотезу об однородности можно принять.

Рассмотрим числовой пример. Группа студентов-филологов ( X) и группа студентов-математиков (У) получила следующие оценки при тестировании в баллах сумма баллов 10 И 12 13 14 15 16 17 18 Всего число X 3 4 2 7 9 И 8 5 1 50 число У 5 3 5 5 5 2 10 2 3 40 всего 8 7 7 12 14 13 18 7 4 90 Расчеты показывают, что х2 = 90(1,117 — 1) = 10, 53. По таблице хи- квадрат с 8 степенями свободы находим критическую точку 15,57. Таким образом, гипотезу о несущественном влиянии направления образования на результаты теста можно принять.

<< | >>
Источник: ОУНЮА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ в психологии. 2001

Еще по теме 1.7 Проверка гипотезы о виде распределения. Критерий х2.:

- Акмеология - Введение в профессию - Возрастная психология - Гендерная психология - Девиантное поведение - Дифференциальная психология - История психологии - Клиническая психология - Конфликтология - Математические методы в психологии - Методы психологического исследования - Нейропсихология - Основы психологии - Педагогическая психология - Политическая психология - Практическая психология - Психогенетика - Психодиагностика - Психокоррекция - Психологическая помощь - Психологические тесты - Психологический портрет - Психологическое исследование личности - Психологическое консультирование - Психология девиантного поведения - Психология и педагогика - Психология общения - Психология рекламы - Психология труда - Психология управления - Психосоматика - Психотерапия - Психофизиология - Реабилитационная психология - Сексология - Семейная психология - Словари психологических терминов - Социальная психология - Специальная психология - Сравнительная психология, зоопсихология - Экономическая психология - Экспериментальная психология - Экстремальная психология - Этническая психология - Юридическая психология -