<<
>>

§1.10. ВЕКТОРЫ

Если человек сделал шаг, то важно знать не только длину шага, но и направление, в котором шаг сделан1. В комнате это может быть и не так существенно, но, например, в горах неверно выбранное направление одного шага может закончиться трагически.

Шаг, который вы делаете, является примером перемещения (рис. 1.22). Любое механическое перемещение определяется как его длиной, так и направлением. Поэтому его можно изображать направленным отрезком прямой — вектором.

Вектор перемещения, векторные величины

В механике вектором перемещения или просто перемещением называется направленный отрезок прямой, проведенный из начального положения движущейся точки в ее конечное положение. Длина вектора перемещения называется его модулем.

Величины, подобные перемещению, которые, кроме своего модуля, характеризуются еще направлением в пространстве, называются векторными. Но в отличие от математики, где вектор есть только математическое понятие и ничего больше, в физике вектор имеет определенный физический смысл: он обозначает

Рис. 1.22 Рис. 1.23

какую-либо физическую величину. Поэтому к слову «вектор» мы должны добавить название этой физической величины. На рисунке 1.22 изображен вектор перемещения.

Обратите внимание: при криволинейном движении модуль перемещения не равен пути, пройденному точкой с момента времени 11 до момента t2 (рис. 1.23), т. е. длина кривой А1А2 больше длины вектора перемещения.

Векторной величиной является также скорость. Все векторные величины изображают направленными отрезками прямой, выбрав надлежащий масштаб при заданной единице этой величины. Как и для обычного отрезка, крайние точки вектора часто обозначают буквами (см. рис. 1.22). Однако в отличие от обычного отрезка (где А, В — концы отрезка) точка А называется началом вектора, а точка В — его концом. С помощью букв А и В вектор обозначается так: АВ (над АВ ставится символическая стрелка, указывающая на то, что отрезок АВ — направленный).

Так же как и обычный отрезок, вектор обладает длиной, которая называется его модулем и обозначается \АВ |.

Модуль вектора так же, как и длину обычного отрезка, можно обозначать

одной буквой, например |АВ | = а. Да и сам вектор АВ можно записать тоже с помощью одной буквы: АВ = а.

Радиус-вектор

Положение тела в произвольной точке А пространства (рис. 1.24) можно задать с помощью радиуса-вектора. Ра- диусом-вектором называется вектор, проведенный из начала системы координат (точка О) в данную точку пространства.

Действительно, длина радиуса-вектора г или его модуль |Я| = г определяет расстояние, на котором точка А (рис. 1.24) находится от начала координат, а стрелка указывает направление на точку пространства. Следовательно, ради-ус-вектор г указывает, на каком расстоянии и в каком направлении находится точка А пространства от-носительно начала выбранной системы координат.

Проекции радиуса-вектора

Проекциями радиуса-вектора г = OA (см. рис. 1.24) на координатные оси X и У являются координаты конца этого вектора, т. е. точки А. Проекции мы будем обозначать той же буквой, что и вектор, но без стрелки над ней и с индексом внизу, указы-вающим, на какую ось проецируется вектор. Так, гх и гу — проекции вектора г на оси координат X и У. Тогда

Гх = х-гу = У-

Проекции, как и координаты, могут быть положительными и отрицательными.

Координаты х и у точки А полностью определяют модуль радиуса-вектора и его направление на плоскости относительно координатных осей. Действительно, по известной из геометрии теореме Пифагора имеем:

|ОА|2 = (ОВ)2 + (АВ)2

или

/ 2 , 2 г = Л/л: + у .

Угол а между направлением вектора г и осью X также определяется однозначно координатами х и у; его можно измерить, например, транспортиром. Можно также вычислить по формуле

X

cos а = -, г

а затем, пользуясь таблицами значений тригонометрических функций, определить сам угол.

Проекции вектора

Опустив перпендикуляры из начала и конца вектора пере-

>

мещения АХА2 (рис. 1.25) на оси координат X и У, можно найти

его проекции на эти оси.

Проекции перемещения есть изменения координат Ах и А у движущейся точки. Изменения координат могут быть как положительными, так и отрицательными величи-

нами. Поэтому проекции перемещения на оси координат также могут быть положительными и отрицательными.

Модуль и направление перемещения полностью определяются его проекциями на оси координат. Для модуля перемещения имеем (см. рис. 1.25):

|аД|= J(Axf + (Ау)2 .

Направление вектора AXA2 определяется углом a: tg а = ^ .

Если, напротив, известен вектор перемещения, то однозначно определяются изменения координат Ах и Ау движущейся точки.

Проекции любого вектора находятся так же, как и проекции перемещения. Но они выражаются не в единицах длины, а в тех единицах, в которых выражается модуль данной величины.

Так как понятие проекции вектора мы будем широко использовать в дальнейшем, то дадим наиболее общее определение проекции.

Направление вектора а (рис. 1.26) можно задать углами а или (5 между вектором и положительными направлениями осей координат. Из рисунка видно, что модуль проекции ах равен длине отрезка АС, а модуль проекции ау — длине отрезка AD. Из прямоугольных треугольников ABC и ABD следует

\ах = acos a,

}ay = acosp. (1.10.1)

Проекция (или компонента) любого вектора на ось равна произведению модуля вектора и косинуса угла, образованно- а) а о| ах> 0 X

Рис. 1.27

го вектором с положительным на-правлением оси.

Формулы (1.10.1) показывают, что проекции вектора есть алгеб-раические величины, т. е. могут быть положительными, отрицатель-ными или равными нулю. Знак проекции определяется знаком ко-синуса. Для острых углов cos а > 0, поэтому ах> 0. Для тупых углов ко-синусы отрицательны, поэтому от-рицательными являются проекции вектора на ось. Если а = 90°, то cos а = 0 и ах = 0. Для наглядности эти случаи изображены на рисунке 1.27, а, б, в. В случае, соответствую-щем рисунку 1.27, б, можно записать:

= acos а = -acos 6. Скаляры

Конечно, не все величины характеризуются направлением.

Число горошин в стручке, длина предмета, температура, электрический заряд и т. д. характеризуются одним числом (это число может быть положительным, отрицательным или нулем). Подобные величины принято называть скалярами.

Значения скаляров не зависят от выбранной системы отсчета.

Положение точки на плоскости и ее перемещение могут быть заданы с помощью векторов. Вектор на плоскости определяется двумя числами — проекциями на оси прямоугольной системы координат. Наоборот, задание, например, радиуса-вектора г эквивалентно заданию координат х и у, а задание вектора перемещения эквивалентно заданию изменений координат Ах и Ау движущейся точки. Модуль вектора — неотрицательное число, а проекция может быть как положительной, так и отрицательной величиной (или равной нулю).? При движении точки ее радиус-вектор меняется со временем, т. е. является функцией времени: г = r(t). Это выражение есть сокращенная запись двух уравнений х = x(t) и у = y(t), описывающих движение на плоскости. Вместо двух уравнений (в общем случае движения в пространстве — трех) для координат или других величин, изменяющихся со временем, можно записать одно уравнение для векторов.

Впоследствии вы сможете убедиться в преимуществе использования векторов. Использование векторов значительно облегчает описание движения, делает его более наглядным, экономным и компактным. Прямолинейное движение тоже можно описывать с помощью векторов. Однако заметных преимуществ это не дает.

? 1. Вектор а задан на плоскости своими проекциями на оси X и У: ах = -2 см, ау = 0. Найдите модуль и направление вектора.

2. Вектор а задан на плоскости своими проекциями на оси X и У: ах = 2 см, ау = 2 см. Найдите модуль и направление вектора.

<< | >>
Источник: Г. Я. Мякишев. ФИЗИКА¦ МЕХАНИКА ¦10. 2012

Еще по теме §1.10. ВЕКТОРЫ: