§ 2.18. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач на материал §2.11—2.17 надо, кроме формул предыдущих параграфов главы, применять закон Ома для полной цепи (2.14.5), закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС (2.15.3), правила Кирхгофа (2.8.2) и (2.17.4).

Еще раз обращаем внимание на необходимость четкого знания правил определения знаков ЭДС, силы тока и напряжения (см.

> I Рис. 2.61

Два элемента, электродвижущие силы которых ^ = 6 В и fSg = 4 В, внутренние сопротивления г^ = 0,25 Ом и г2 = 0,75 Ом, соединены по схеме, показанной на рисунке 2.61. Чему равна разность потенциалов между точками 1 и 21 Сопротивле-нием соединительных проводов пренебречь.

Решение. Условимся считать положительным направление обхода против часовой стрелки. Полная ЭДС цепи равна ? = IgJ - - а сила тока в цепи

в N - N

/ =

Г1 + г2

Г1 + г2

Закон Ома для верхнего участка цепи между точками 1 и 2 запишется в виде: 2 '1

rl + r2

= -5,5 В. Знак минус указывает на то, что потенциал точки 1 меньше потенциала точки 2. Тот же результат можно получить, применяя закон Ома к нижнему участку цепи: = 5,5 В.

|f=l|r2 +

U2,l = Ir2-$2= r\Tr^ Задача 2

В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 2.62, ЭДС батареи элементов ?= 10 В, сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R = 5 Ом. Емкости всех конденсаторов тоже одинаковы и равны С = 1000 пФ. Найдите заряды на обкладках конденсаторов, если известно, что при коротком замыкании батареи сила тока в батарее увеличивается в га = 10 раз. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

Решение. Из схемы видно, что ток не пойдет через резистор R2 (он закорочен проводником) и R6 (ветвь gh разомкнута C2

CI

C3

R6 RI

R5

R3

R2 R4

1

Рис. 2.62

конденсатором СЗ, так как постоянный ток через конденсатор не проходит).

Эквивалентное внешнее сопротивление

Дэкв = Я+| +Д = 2,5Д.

Согласно закону Ома для полной цепи ЭДС батареи,

? = /(г+2,5Л), (2.18.1)

где г — внутреннее сопротивление батареи. При коротком за-мыкании

? = 7К.3Г. (2.18.2)

В соответствии с условием

Приравнивая правые части равенств (2.18.1) и (2.18.2), получим:

1(г + 2,51!) = IK3r = Inr. 2,5 R п-1

г =

Отсюда

Є(п- 1) 2,5 Rn

Сила тока в цепи

ь

2,5* + г &В+2М п-1 Разность потенциалов на участках ab и fh одна и та же, она равна:

Ги.-п-ЧїР-

а на участке ef:

тт - т* - ^гс"1) 2 2 5 п •

Заряды на обкладках конденсаторов С1,С2 и СЗ найдем так:

а =a =U С= g^-1).

Уі Уз ^1,3° 2,5га '

10 В • 10 9 Ф (10 - 1) 0 . л Л_9 „ 0 „ „ = q3 2 5 » 10 = 3,6 • 10 9 Кл = 3,6 нКл.

f.C(n - 1) q2 = г = 1,8 нКл.

Задача 3

Изобразите графически примерный ход потенциала вдоль замкнутой цепи с гальваническим элементом (элементом Даниэля), изображенной на рисунке 2.57.

Решение. Если цепь разомкнута, то сила тока и падение напряжения во внешней цепи и внутри источника равны нулю. На границах электрод — раствор электролита в источнике существуют скачки потенциалов ІЕ/J и \U2\ (см. рис. 2.51). Сумма этих скачков равна ЭДС элемента:

в = \и1\ + \и2\.

При замыкании цепи скачки потенциалов на границах электрод — раствор электролита не изменяются. Но потенциал раствора электролита теперь не остается постоянным, а уменьшается в направлении тока, т. е. от отрицательного электрода к положительному. Падение напряжения на внут-реннем сопротивлении UQ = Ir.

Рис. 2.63

На рисунке 2.63 приведен примерный график распределения потенциала в замкнутой цепи. Отрезок АС изображает по- генциал положительного электрода относительно некоторого произвольно выбранного нулевого уровня. Отрезок BF соответствует потенциалу отрицательного электрода. Рас-стояние между электродами равно АВ.

Линия CMFDEC, изображающая ход потенциала во всей цепи, является замкнутой. Это означает равенство нулю полной работы электростатического поля на замкнутом пути. Действительно, поле совершает положительную работу на участках CMF и DE и отрицательную — в тех местах, где имеются скачки потенциала вверх (FD и ЕС). По модулю положительная работа равна отрицательной. При перемещении единичного положительного заряда вдоль цепи положительная работа численно равна UQ + U = DK + LF, а отрицательная работа численно равна |t/"x| + \U2\ = & = LK + DF, т. e. UQ + U =

что представляет собой закон Ома для замкнутой цепи.

Может возникнуть вопрос: за счет чего же происходит выде-ление теплоты в цепи? На всех участках, кроме границ электрод — раствор электролита, действуют лишь электростатические силы. На границах, где есть скачки потенциала, действуют еще и сторонние (в данном случае химические) силы, причем отрицательная работа электростатических сил по модулю равна положительной работе сторонних сил. Поэтому положительная работа электростатических сил во всей остальной части цепи оказывается нескомпенсированной. За счет этой работы и происходит выделение теплоты.

Рисунок 2.63 позволяет наглядно истолковать закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Как видно из рисунка, модуль напряжения |?/| = LF = LK - FK = LK - (DK - DF) = = (LK + DF) - DK = |(§| - \1\г, т.е. напряжение на клеммах источника равно ЭДС минус падение напряжения внутри источника.? Два элемента, электродвижущие силы которых ^ = 2 fi и = 1 В, соединены по схеме, показанной на рисунке 2.64; Сопротивление резистора R = 0,5 Ом.

І-Г І ¦ "

R |

f2, r Решение. Зададим произвольно направление токов (см. рис. 2.64) . Тогда на основании закона Ома для трех участков АВ (А — начало каждого участка, В — его конец) можно записать следующие уравнения:

(Рл~ФВ = 7ЗЛ- Рис. 2.64

При выбранном направлении от А к В (с учетом выбора направления токов) имеем: < 0; < 0; (S2 < 0; 12 < 0; I3 > 0; <рЛ - cpB > 0. Поэтому уравнения для модулей запишутся так: "

Фа ~ Фв = l^il ~ lzilr>

ФА-ФВ = і^2і-|72Іг' (2.18.3)

Фа - Фв =

Согласно первому правилу Кирхгофа для узла А имеем:

= І'зІ-

Решая систему уравнений (2.18.3), с учетом предыдущего равенства находим искомые значения для модулей сил токов:

11,1 - | А; Ц2| = \ А; |/3| = § А.

І

Аккумулятор, ЭДС которого 2 В и внутреннее сопротивле- ие г = 0,04 Ом, замкнут на резистор (см. рис. 2.57). Мощ- ость тока, выделяемая на резисторе, Р = 9 Вт. Определите напряжение на клеммах аккумулятора.

Решение. Мощность, выделяемая на резисторе, равна Р = IU. Согласно закону Ома (2.15.3)

Uh2 = Ir-g. (2.18.4)

При выбранном направлении обхода (см. рис. 2.57) против часовой стрелки I > 0, ? > 0 и U1 2 < 0. Умножив обе части равенства (2.18.4) на -1, получим:

-171>2 = ?-7г. (2.18.5)

Но -17j 2 = U2 і ~ U, где U — модуль напряжения на резисторе. Следовательно,

U = ё~1г.

Отсюда

/= и г

Тогда

Р= єи-и2

г

Решая это квадратное уравнение относительно U, найдем:

C/j = 1,8 В; и2 = 0,2 В.

Неоднозначность результата связана с тем, что одна и та же мощность тока может быть выделена при различных значениях сопротивления резистора, причем каждому значению сопротивления R соответствует своя сила тока.

При U1 = 1,8 В = 5 Аиі?г = ^ =0,36 Ом. При 172 = 0,2 В 12 = 45АиД2 = = 0,00450м.

Найдите силы токов в каждой ветви электрической цепи* схема которой показана на рисунке 2.65.

= R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 10 Ом. Внутренние сопротивления источников не учитывать.

Решение. Зададим произвольно направления токов (см. рис. 2.65). Применим первое правило Кирхгофа для узлов b, h и f (для упрощения записей модули сил токов обозначим буквами Iv 12,13 и т. д.):

+ I2~ Iз = 0 для узла Ь\ 14 - 15 = 0 для узла h;

/5 - - /6 = 0 для узла /.

Теперь применим второе правило Кирхгофа для контуров. Выберем произвольно направление обхода контуров: контура abfg — по часовой стрелке; контура bcdh — против часовой стрелки и контура hdef — по часовой стрелке (и здесь для упрощения записей модули ЭДС источников обозначим буквами

в-у и ?2):

+ I5R5 = ё1-$2 — контур abfg;

I2(R2 + i?3) + /4Д4 = 2 — контур bcdh;

/4І?4 - /6і?6 - /5Д5 = 0 — контур hdef.

Учитывая, что Rx = R2 = i?3 = ії4 = i?5 = Л6 = R, получим в итоге следующую систему уравнений:

? h+h-h' h-h-h

0, 0,

R

(2.18.6)

- h-h-h-0'

Решение такой системы уравнений требует терпения и вни-мательности. Решим эту систему последовательным исключе-нием неизвестных величин.

Из последнего уравнения системы (2.18.6) находим /6 = /4 - - ig. Подставив значение /6 в третье уравнение, получим сис-тему:

h+I2~h = 0> h-h-h^o, <

R

(2.18.7) R

21E - Л - /, = 0.

12 4

Wl -*4

Из второго уравнения системы (2.18.7) находим /5 = /3 - /4. Подставив значение /5 в третье и пятое уравнения, получим систему:

/1 + /2-/3 = 0' 2/3-^-3/4=0.

Из третьего уравнения системы (2.18.8) находим /4 = - -д -

- 2/2. Подставив это значение тока во второе и четвертое уравнения, получим систему: Г /1+72-/3 = °. (2.18.9)

Д

Д '

v /1 +/3 + 272 =

2/3-/1 + 6/2 Из первого уравнения следует: /3 = 11 + /2. После подстановки значения тока /3 во второе и третье уравнения получаем:

- 2^2

R

21х + ЗІ2 = 3f2

(2.18.10) Д ^

Наконец, из второго уравнения находим 12 — -g и

подставляем в первое уравнение. Это дает

- 7?2

71 = ^зд"^0Д9А-

Затем находим: т =__І _ ~ _п 17 А.

2 13Д и,ИЙ'

Т 7ft - lift

3 13Д

2ft - 5ft

13 Д

5ft - 6ft 13Д

0,02 А, « -0,05 А, = 0,07 А, ё2 - 3ft

в їзд ".^а.

Отрицательные значения сил токов /2, /4 и /6 означают, что при данных значениях ЭДС и сопротивлений эти токи имеют направления, противоположные указанным на рисунке.? Батарея состоит из N параллельно соединенных источников тока (рис.

Решение. Обозначим ЭДС параллельно соединенных источников через ё2, ..., а их внутренние сопротивления — через г,, г2, ..., г Замкнем полюса данной батареи на резистор сопротивлением R, тогда по цепи пойдет ток. Силу тока в отдельных ветвях обозначим через /2, ..., IN, а в резисторе — через I.

Применив закон Ома (2.15.3) для участка цепи, содержащего ЭДС, для каждой ветви (см. рис. 2.66), получим:

U

1,2

Отсюда

h =

IIV =

и1,2 = 71Г1 ~ Ul,2 = J2r2 ~~ UU2 + Єї rl J Uh2 + r2 » ^1,2 + ' n

Согласно первому правилу Кирхгофа

$1

U

1,2

n n

г,

= I

;= і

1=1

или

n n (2.18.11) і = 1

і=1 Пусть $ и г — соответственно ЭДС и внутреннее сопротивление источника, эквивалентного данной батарее. Тог- да, заменив батарею эквивалентным ей источником, будем иметь:

2 + ? 1 ё I- =С/1>2^ + f . (2.18.12)

Сравнивая выражения (2.18.11) и (2.18.12), видим, что N 1

V

p / = 1 N ft і= 1 r ri гг ... + 1 і - h + h + r rl r2 ... + rN или

(2.18.13)

Таким образом, при параллельном соединении нескольких источников тока полученную батарею можно заменить эквивалентным источником тока, ЭДС которого є и внутреннее сопротивление г можно найти из формул (2.18.13) и (2.18.14).

Если все источники тока одинаковы и соединены одноименными полюсами, то из формул (2.18.13) и (2.18.14) сле-дует, что

ft = ft, (2.18.16)

где ft и гб — ЭДС и внутреннее сопротивление батареи, a ft иг — ЭДС и внутреннее сопротивление одного элемента.

Задача 8

Можно ли с помощью 24 аккумуляторов, каждый из которых имеет ЭДС ft = 2 В и внутреннее сопротивление г — 0,3 Ом, соединяя их в отдельные одинаковые группы, получить во внешней цепи сопротивлением R = 0,2 Ом силу тока I = 21 А?? Решение. Возможны два способа соединения аккумуляторов. Можно внутри отдельных групп соединить аккумуляторы последовательно, а сами группы — параллельно, или же, наоборот, внутри группы — параллельно, а сами группы — последовательно.

Обозначим через N полное число аккумуляторов, а через га — число аккумуляторов внутри отдельной группы. Тогда в первом случае сила тока равна:

пёп п

= = (2Л8Л7)

r + ~N п N

так как ЭДС одной группы равна п?0, сопротивление группы

N

гаг, а число параллельно соединенных групп — .

Сила тока достигнет максимума, когда значение знаме- R гп _

нателя — + будет минимальным.

тт R , гп

Для нахождения минимума выражения - + -гг вычтем из

ТІ iV

frR

него и добавим к нему выражение 2 /— . Получим:

V N

Д , ™ _0 frR ,0 IrR _ ( [R _ [rnf , 9 IrR п N z4N~ ~ Un *JN) Л'

О R rn (RN

Это выражение минимально при — = — , т. е. при га = I— =

/Дг

= 4. Оно равно 2 I— (выражение в скобках равно нулю). Следовательно,

г = ?° /Е = 20 А

lmax 2 JrR

Во втором случае

N?

R + —т nR + —

^ п

П п

Осуществив такие же преобразования, как и в первом слу

чае, найдем, что сила тока достигает максимума при п = когда знаменатель выражения (2.18.18) имеет минимальное

значение, равное Z JrRN.

Таким образом, получить во внешней цепи силу тока, превышающую 20 А, невозможно.

Упражнение 6

Параллельно соединенные конденсатор емкостью С = 4 мкФ и резистор сопротивлением R = 3 Ом подключены к ис-точнику тока с ЭДС ? = 5 В и внутренним сопротивлением г = 1 Ом. Определите заряд на обкладках конденсатора.

При подключении к аккумулятору резистора сопротивлением = 1,8 Ом сила тока в цепи равна = 1 А. Если заменить резистор сопротивлением Rx на резистор сопротивлением R2 = 4,8 Ом, то сила тока /2 = 0,4 А. Определите ЭДС ? аккумулятора.

Вольтметр с внутренним сопротивлением = 200 Ом, подключенный к источнику тока с ЭДС ? — 12 В, показывает U = 11В. Что покажет амперметр с внутренним сопротивлением R2 = 4 Ом, если его подключить к источнику параллельно вольтметру?

Вольтметр с внутренним сопротивлением R = 1800 Ом подключают к источнику тока сначала параллельно резистору сопротивлением Rx = 120 Ом, а затем последовательно с резистором сопротивлением R2 = 200 Ом. Чему равно внутреннее сопротивление г источника тока, если показания вольтметра в обоих случаях одинаковы?

При каком соотношении сопротивлений внешнего и внутреннего участков цепи с источником постоянного тока во внешнем участке выделяется максимальная мощность?

К источнику тока подключают сначала резистор сопротивлением R = 3 Ом, а затем последовательно с этим резието- ром резистор, сопротивление которого в т. = 20 раз больше. При этом коэффициент полезного действия увеличился в п = 2 раз. Чему равно внутреннее сопротивление г источника тока?

Замкнутая цепь питается от источника с ЭДС ? и внутренним сопротивлением г. Постройте графики зависимости силы тока в цепи и напряжения на зажимах источника от внешнего сопротивления R.

Вольтметр с сопротивлением i?1 = 100 Ом, подключенный к клеммам элемента, показывает разность потенциалов U = 2 В. При замыкании этого же элемента на резистор сопротивлением R = 15 Ом включенный в цепь амперметр показывает силу тока I = 0,1 А. Найдите ЭДС элемента если сопротивление амперметра R2 = 1 Ом.

Сила тока на участке цепи, содержащем аккумулятор, равна 1 А. Электродвижущая сила и внутреннее сопротивление аккумулятора равны соответственно ? = 4 В и г = 1 Ом. Чему равна разность потенциалов на зажимах аккумулятора?

в В В в Г1<Г2 Г1 = Г2 а) б) в) г) 11. Рис. 2.67

10. Изобразите графически примерный ход потенциала вдоль замкнутых цепей, изображенных на рисунке 2.67, а—г. Определите силу тока в каждой цепи и разность потенциалов между точками В и А. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

В А

г

R

а) б)

Рис. 2.68

Гальванические элементы с ЭДС ft = 2Bnft = l,5B соединены по схеме, изображенной на рисунке 2.68, а. Вольтметр, нуль которого находится посередине шкалы, показывает напряжение = 1В, причем его стрелка от-клоняется в ту же сторону, что и при разомкнутом ключе S. Что будет показывать вольтметр, если соединить элементы по схеме рисунка 2.68, 61 Током, ответвляющимся в вольтметр, можно пренебречь.

Решите задачу 11 при условии, что при замкнутом ключе S (см. рис. 2.68, а) стрелка вольтметра отклоняется в сторону, противоположную той, в которую она отклонялась при разомкнутом ключе.

В каком случае сила тока в цепи, состоящей из двух последовательно соединенных гальванических элементов, замкнутых проводником, меньше силы тока в цепи, которая получится, если один из элементов исключить?

При каком значении сопротивления R в цепи (см. рис. 2.64) ток через гальванический элемент с ЭДС ft не пойдет? При каких значениях R ток через этот элемент будет направлен против сторонних сил, действующих в элементе?

Найдите разность потенциалов фЛ - фв между точками А и В в цепи, схема которой изображена на рисунке 2.69. ЭДС элементов В и их внутренние сопротивления г одинаковы.

Рис. 2.69

D

| g,2r С

2R

X

2 В, г

TiS, 3 г R

' 3?, 4г В Рис. 2.70

Найдите разность потенциалов между точками А и С, Ви D в цепи, схема которой изображена на рисунке 2.70.

Зарядка аккумулятора с начальной ЭДС ? осуществляется зарядной станцией, напряжение в сети которой равно U. Внутреннее сопротивление аккумулятора г. Определите полезную мощность Pv расходуемую на зарядку аккумулятора, и мощность Р2, расходуемую на нагревание аккумулятора.

Определите силу тока / в резисторе R2 (рис. 2.71), если $х = = 8 В, rx = 1 Ом, ё2 = Ю В, г2 = 2 Ом, = 15 Ом, i?2 = 2 Ом.

Батарея из п = 40 последовательно соединенных в цепь аккумуляторов заряжается от сети с напряжением 17 = 127 В. Чему равна сила зарядного тока, если ЭДС аккумулятора ? = 2,5 В, внутреннее сопротивление аккумулятора г = 0,2 Ом и последовательно в цепь включен резистор сопротивлением R = 2 Ом? 1 1

R і 1 I

R2

1 1 1

Г2 12. Рис. 2.71

N одинаковых аккумуляторов соединены последовательно, причем k из них включены навстречу другим. Какая сила тока установится в цепи, если батарею замкнуть на резистор сопротивлением R? ЭДС каждого элемента равна внутреннее сопротивление г.

Источник с ЭДС и внутренним сопротивлением г1 параллельно соединен с источником, ЭДС которого (§2, а внутреннее сопротивление равно нулю. Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление полученной батареи.? Найдите ЭДС и внутреннее сопротив- g г ление источника тока, зашунтирован- 0 I ° ного проводником сопротивлением R д

(рис. 2.72). 1 1

При каких условиях сила тока в цепи, подключенной к батарее, составленной ^>ИСі из последовательно соединенных одинаковых элементов, равна силе тока, даваемой батареей из тех же элементов, соединенных параллельно?

Из N = 16 элементов нужно составить батарею, чтобы при внешнем сопротивлении R = 4 Ом сила тока в нем была наибольшей. Как нужно соединить элементы? Внутреннее сопротивление одного элемента г = 0,25 Ом.

Батарея, состоящая из N элементов с ЭДС ? = 1,84 В и внутренним сопротивлением г = 0,5 Ом каждый, собрана из нескольких групп, соединенных последовательно. В каждой группе содержится по п = 4 элемента, соединенных параллельно. Сопротивление внешней цепи R = 3 Ом. При такой группировке элементов во внешнем участке цепи получается максимальная сила тока. Определите число N элементов в батарее и максимальную силу тока I.