§ 5.9. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач на материал этой главы нужно уметь с помощью правила Ленца определять направление индукцион-ного тока. Для вычисления ЭДС индукции следует использо-вать формулы (5.3.3), (5.5.2), а для ЭДС самоиндукции и вза-имной индукции — формулы (5.7.2) и (5.7.4).

Задача 1

Проволочное кольцо радиусом г находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плос-кости кольца и меняется с течением времени по закону В = kt. Определите напряженность электрического поля в витке.

141 =

(5.9.1) ДФ . ДБ At At S = ккг2.

Решение. Согласно закону электромагнитной индукции (5.3.2)

С другой стороны, ЭДС индукции численно равна работе, совершаемой вихревым электрическим полем при перемеще-нии единичного положительного заряда вдоль проволочного кольца (см. § 4.4), т. е.

\Si\ = 2nrE. (5.9.2)

Сравнивая выражения (5.9.1) и (5.9.2), получим:

2 nrE = kiz г2.

Отсюда

Тр _ kr

Е-т •

Задача 2

В однородном проволочном кольце создан постоянный ин-дукционный ток I. Линии индукции переменного магнитного поля, создающего этот ток, перпендикулярны плоскости кольца. Поле сосредоточено вблизи его оси и имеет ось сим-метрии, проходящую через центр кольца (рис. 5.18). Чему равна разность потенциалов между точками А и В? Что будет показывать электрометр, присоединенный к этим точкам?

Решение. Разность потенциалов между любыми точками кольца должна быть равна нулю. В противном случае мы придем к противоречию, применяя закон Ома к короткому и длинному участкам кольца. Кроме того, это очевидно и из со-ображений симметрии.

Рис. 5.18

где е?, и ft — ЭДС индукции на корот-ком и длинном участках кольца, аги R — соответственно сопротивления уча-стков.

Несмотря на отсутствие разности по-тенциалов между точками А п В, элек-трометр обнаружит разность потенциа-лов между стержнем и корпусом.

Отсутствие разности потенциалов означает, что кулонов- ское поле внутри кольца равно нулю.

Дело в том, что в проводниках АС и BD ток равен нулю. Следовательно, в каждой точке этих проводников стороннее электрическое поле индукционного происхождения уравнове-шивается кулоновским (потенциальным) полем, возникаю-щим вследствие перераспределения зарядов в проводниках под влиянием ЭДС индукции. Работа потенциальных сил при перемещении по замкнутому контуру ACDBA равна нулю. На участке АВ кулоновское поле отсутствует. При перемещении единичного заряда по проводникам АС и BD работа потенци-альных сил численно равна ЭДС индукции в этих проводни-ках и имеет противоположный знак.

Следовательно, для равенства нулю работы кулоновских сил вдоль замкнутого контура необходимо, чтобы разность по-тенциалов между точками С и D равнялась ЭДС индукции в проводниках АС и DB и совпадала с ней по знаку. Так как ЭДС индукции в замкнутом контуре ACDBA равна нулю (магнит-ное поле не пронизывает этот контур), то на участке АВ ЭДС индукции равна по модулю и противоположна по знаку ЭДС в проводниках АС и ВГУ, если пренебречь работой сторонних сил индукции на участке между стержнем и корпусом электро-метра по сравнению с работой в проводниках АС и BD.

Поэтому электрометр покажет разность потенциалов, при-близительно равную ЭДС на участке АВ.

Задача 3

По параллельным рельсам, наклоненным под углом а = 30° к горизонту, соскальзывает без трения с постоянной скоро-стью v = 1м/с проводящая перемычка массой т = 100 г. В своей верхней части рельсы замкнуты проводником. Рельсы с перемычкой находятся в однородном магнитном поле, ин-дукция которого направлена вертикально. Сопротивление пе-ремычки R = 2 Ом гораздо больше сопротивления остальной части системы. Чему равна сила тока I в перемычке?

Решение. На перемычку действуют три силы: сила тяжести mg, сила реакции рельсов N и сила Ампера FA, направленная

вправо (рис. 5.19). Направление силы Ампера не зависит от направления вектора В.

Так как, согласно условию, пере-мычка соскальзывает по рельсам с по-стоянной скоростью без трения, то век-торная сумма действующих на нее сил равна нулю:

MG + N + Fa = 0.

Запишем это уравнение для модулей проекций на ось X, направленную так, как показано на рисунке 5.19:

FA cos а = mg sin а. (5.9.3)

Сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля на перемычку, равна:

fa = bii,

где В — индукция магнитного поля, I — длина перемычки. Тогда уравнение (5.9.3) примет вид:

ВП cos а = mg sin а. (5.9.4)

ЭДС индукции, возникающая в перемычке при ее движении вниз по рельсам со скоростью v, равна:

?г = Blv sin (90° + а) = Blu cos а.

Согласно закону Ома

Blv cos a^IR. (5.9.5)

Поделив почленно равенство (5.9.4) на равенство (5.9.5), получим:

I _ mgsina V ~ IR '

Отсюда

/= о,5 А.

Задача 4

Из провода длиной I изготовили соленоид длиной lQ. Диаметр соленоида d lQ. Определите индуктивность соленоида.

Решение. Согласно формуле (5.7.1) поток магнитной индук-ции Ф сквозь соленоид, в обмотке которого создан ток I, равен:

Ф = Ы,

где L — искомая индуктивность.

Поток магнитной индукции

Ф = BSw,

где В — индукция магнитного поля соленоида, S — площадь его поперечного сечения, w — число витков соленоида. Если d Г» ^ и>

в=

где

I

w = —; . на

Таким образом,

_ _ I I nd2 І = ЦрII2 i0%d 4 nd Ш0

Следовательно,

ф _

I 4 л10'

Задача 5

Поверх длинного соленоида, имеющего wx витков^длину I и площадь сечения S, вплотную намотан по всей длине второй соленоид, имеющий w2 витков и приблизительно такую же площадь сечения S. Определите взаимную индуктивность со-леноидов.

Решение.

JlDj

В1 = Но— •

Это поле создает сквозь второй соленоид магнитный поток Фх 2, равный:

Iw,w2

Ф lt2 = B1Sw2 = \^—i—S.

Отсюда для взаимной индуктивности L1 2 получается выра-жение

Аналогично получаем выражение для потока магнитной индукции Ф2 созданного вторым соленоидом и пронизывающего первый соленоид:

Iw2u>1

Ф2,1 = ^0—Г~ S-

Отсюда

">2W1

Из сравнения выражений (5.9.6) и (5.9.7) убеждаемся, что

L1,2~L2,V

Задача 6

Кольцо из сверхпроводника помещено в однородное маг-нитное поле, индукция которого нарастает от нуля до ?0.

Плоскость кольца перпендикулярна линиям индукции маг-нитного поля. Чему равен индукционный ток, возникающий в кольце? Радиус кольца г, индуктивность L.

Решение. Так как сопротивление кольца R = 0, то, согласно закону Ома, и ЭДС в кольце всегда должна быть равна нулю. Это может быть только в том случае, если изменение полного магнитного потока, пронизывающего кольцо, равно нулю:

ДФ

= |?J = № = 0.

At

Так как At * 0, то ДФ = 0, т. е. Ф = const. Следовательно, изменение внешнего магнитного потока Ф0 равно по модулю и противоположно по знаку изменению маг-нитного потока, созданного индукционным током: ДФ0 = LAI.

Учитывая, что поток Ф0 нарастает от 0 до яt^Bq, а индукционный ток меняется при этом от О до I, получим:

я t^Bq = LI.

Отсюда

itr2Bn І=—г-. Упражнение 9

Катушка из w витков, площадь каждого из которых равна S, присоединена к баллистическому гальванометру. (Баллистический гальванометр измеряет прошедший через него заряд.) Сопротивление всей цепи R. Вначале катушка находилась между полюсами магнита в области, где магнитная индукция В постоянна по модулю и направлена перпендикулярно виткам катушки. Затем катушку переместили в пространство, где магнитное поле отсутствует. Чему равен заряд q, прошедший через гальванометр?

Прямоугольная рамка ABCD расположена в плоскости бесконечного прямолинейного проводника с током, причем стороны AD и ВС параллельны проводнику (рис.

Прямоугольный контур ABCD перемещается поступательно в магнитном поле тока I, текущего по длинному прямому проводу 00' (рис. 5.21). Стороны AD и ВС параллельны проводу. Определите силу тока, индуцированного в контуре, если контур перемещается с постоянной скоростью v; AD = ВС = о; АВ = DC = Ь. Сопротивление контура R.

Стержень длиной L = 1 м вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью (0 = 2 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией В = Ю-2 Тл вокруг оси, проходящей через один из концов стержня. Ин-

А В

Г — — —' "I

D С

дукция магнитного поля направлена вертикально. Опре-делите разность потенциалов U между концами стержня.

Определите силу тока в проводниках цепи, изображенной на рисунке 5.22, если индукция однородного магнитного поля перпендикулярна плоскости чертежа и модуль ее изменяется по закону В = kt. Сопротивление единицы длины проводников равно г.

Переменное магнитное поле создает в кольцевом проводнике ADBKA постоянную ЭДС индукции ё. Сопротивле-ния проводников ADB, АКБ и АСВ (рис. 5.23) равны соот-ветственно Др R2 И Л3. Какую силу тока показывает ам-перметр, включенный в участок АСВ? Магнитное поле со-средоточено у оси кольцевого проводника.

Прямоугольная проволочная рамка со сторонами а = 5 см и Ъ = 10 см входит с постоянной скоростью v — 1м/с своей меньшей стороной в большую область однородного магнитного поля, индукция которого, равная по модулю В — 0,01 Тл, направлена по нормали к плоскости рамки. Сопротивление рамки Д = 0,01 Ом. Какую работу А совершает индукционный ток за время At = 0,5 с с момента, когда рамка начинает входить в поле? По двум вертикальным рейкам АВ и CD (рис.

С

Проводник длиной I может без трения скользить по рейкам АВ и CD, соединенным через резистор сопротивлением R (рис. 5.25), в однородном магнитном поле, индукция

А В а/2 Е

Ь'С

R

А<—[

®в

т

а

а

D

В

D

С F

Рис. 5.25

D

С

F

• В

Рис. 5.26 которого В перпендикулярна плоскости чертежа. Какую силу F следует приложить к проводнику, чтобы он двигался равномерно со скоростью v ?

10. Проволочная рамка в форме равностороннего треугольника со стороной а — 5 см входит в область однородного магнитного поля. Рамка движется поступательно с постоянной скоростью v — 20 м/с так, что одна сторона ее перпендикулярна границе области магнитного поля, а плоскость рамки перпендикулярна направлению вектора магнитной индукции. Какого максимального значения достигнет сила индукционного тока в рамке при ее движении? Сопро-тивление рамки R = Ю-2 Ом. Индукция магнитного поля

В = 1,5 • 10" 2 Тл.

По двум металлическим параллельным рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости и замкнутым їіа конденсатор С, может без трения двигаться проводник массой 7п и длиной I. Вся система находится в однородном магнитном поле, индукция которого В направлена вверх. К середине проводника перпендикулярно к нему и параллельно рейкам приложена сила F (рис. 5.26). Определите ускорение подвижного проводника, если сопротивление реек, подводящих проводов и подвижного проводника равно нулю. Какие виды энергии возникают за счет работы силы F? Считать, что в начальный момент скорость проводника равна нулю. Индуктивностью цепи пренебречь.

На цилиндр из немагнитного материала намотан соленоид из w витков проволоки. Радиус цилиндра г, его длина I (Г I). Сопротивление проволоки R. Каким должно быть напряжение на зажимах соленоида, чтобы сила тока возрастала прямо пропорционально времени, т. е. чтобы выполнялось равенство I = ktl

13- Поверх длинного соленоида вплотную намотана катушка. Сила тока в соленоиде нарастает прямо пропорционально времени. Каков характер зависимости силы тока от времени в катушке?

К источнику тока параллельно подключены конденсатор емкостью С = 10 мкФ и катушка индуктивностью L = = 0,01 Гн. Сила тока в катушке / = 2 А, а напряжение на конденсаторе U = 10 В. Затем источник отключают. Какой заряд q будет на конденсаторе в тот момент, когда сила тока в катушке окажется равной нулю? Потерями энергии пренебречь.

В однородном магнитном поле с индукцией В находится сверхпроводящее кольцо радиусом г. Линии индукции перпендикулярны плоскости кольца. Тока в кольце нет. Какой магнитный поток будет пронизывать кольцо после того, как магнитное поле перестанет действовать?

Перед полюсом электромагнита на длинной нити подвешено кольцо из сверхпроводника (рис. 5.27). Что произойдет с кольцом, если по обмотке электромагнита пропустить переменный ток?

Два сверхпроводящих кольца радиусами г находятся на расстоянии d друг от друга, причем d » г. Центры колец лежат на прямой ОО', перпендикулярной плоскостям обоих колец. Кольца могут перемещаться только вдоль этой прямой. В начальный момент по кольцам текут в одном направлении токи IQ (рис. 5.28). Чему будут равны силы токов в кольцах после того, как они сблизятся вплотную?