§1.2. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА, ПОДВЕШЕННОГО НА ПРУЖИНЕ

Для того чтобы описать колебания тела, например

груза на пружине или шарика на нити, количественно, нужно воспользоваться законами механики

Ньютона.

Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела т на ускорение а равно действующей на тело силе F:

та = F.

Второй закон Ньютона (1.2.1) непосредственно описывает движение тела, размеры которого не оказывают существенного влияния на характер движения. В таком случае тело можно считать материальной точкой.

Чтобы записать второй закон Ньютона для проекций на оси координат, надо выбрать подходящую систему отсчета, относительно которой уравнение движения выглядит особенно просто и потому удобно для решения. Далее надо выяснить, как модули и направления сил зависят от положения (координат) тела и его скорости. Если тело движется вдоль прямой, как в случае колебаний груза на пружине, то сделать это нетрудно.

Запишем уравнение движения для груза на пружине. На

груз действует сила упругости F и сила тяжести F = mg. Действием трения пренебрежем. Направим ось X вертикально вниз (рис. 1.7). Начало отсчета (точку О) выберем на уровне положения равновесия. В положении равновесия пружина растянута на величину xQ, значение которой определяется из закона Гука: kxQ = mg, где k — жесткость пружины, т — масса груза, a g — ускорение свободного падения. Отсюда

Проекция силы упругости

(Fy)x = ~k(xQ + х),

где х — координата груза относительно положения равновесия.

Рис. 1.7

Величина Xq + х представляет собой удлинение пружины (см. рис. 1.7).

Уравнение движения груза запишется так:

тах = -k(x + лс0) + mg. (1.2.3)

Подставляя в это уравнение значение лс0 из выражения (1.2.2), получим окончательно:

тах = -kx. (1.2.4)

Уравнение движения не содержит силы тяжести. Сила тяжести, действуя на груз, вызывает растяжение пружины на постоянную величину.

Масса т и жесткость пружины k — постоянные величины. Разделив левую и правую части уравнения (1.2.4) на т и введя новое обозначение

(1-2.5)

получим:

(1.2.6)

ах = -tog*.

Это уравнение колебаний груза на пружине. Оно очень простое: ускорение груза прямо пропорционально его координате х, взятой с противоположным знаком. Самым заме-чательным является то, что такие же (с точностью до обозначений) уравнения описывают свободные колебания самых различных систем, в частности колебания математического маятника.

Постоянная <в0 имеет важный физический смысл. Как мы

впоследствии увидим, — это циклическая частота колебаний груза. Она выражается в секундах в минус первой степени.