§ 1.3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Рассмотрим простой маятник — шарик, подвешенный на длинной прочной нити. Если размеры шарика много меньше длины нити, то этими размерами можно пренебречь и рас-сматривать шарик как материальную точку.
Растяжением нити также можно пренебречь, так как оно очень мало. Можно пренебречь и ее массой по сравнению с массой шарика. Таким образом, вместо реального маятника — шарика определенного размера на нити, которая, конечно, немного деформируется при движении и имеет массу, мы вправе рассматривать простую модель: материальную точку, подвешенную на нерастя- жимой невесомой нити. Такая модель маятника называется математическим маятником в отличие от реального маятника, называемого физическим. Маленький шарик на длинной тонкой нити должен вести себя практически так же, как и математический маятник. Выведем маятник из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать двесилы: сила тяжести F = mg, направленная вертикально вниз,
и сила упругости нити F , направленная вдоль нити (рис. 1.8).
Конечно, при движении маятника на него еще действует сила
трения. Но мы будем считать ее пренебрежимо малой.
—>
Силу тяжести F удобно разложить на две составляющие: тангенциальную F , направленную по касательной к траектории перпендикулярно к нити, и нормальную Fn, направленную вдоль нити. Сила упругости нити Fy и составляющая силы
—>
тяжести Fn перпендикулярны к скорости маятника и сообщают ему нормальное ускорение. Действие этих сил не меняет скорости маятника по модулю, а приводит лишь к изменению направления скорости. Вектор скорости непрерывно поворачивается, так что в любой момент времени скорость направлена по касательной к дуге окружности — траектории маятника.
Тангенциальная составляющая Fx силы тяжести создает
тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю. Она всегда направлена к положению равновесия, и именно она вызывает колебания маятника.
При колебаниях шарика на нерастяжимой нити он всегда движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити I.
Поэтому положение шарика в любой момент определя-ется одной величиной — углом а отклонения нити от вертикали (см. рис. 1.8). Будем считать угол а положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево.Уравнение для тангенциальной составляющей ускорения
Тангенциальная проекция силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол а, выражается так:
Fx = -F sin а = -mg sin а. (1.3.1)
(Мы считаем значение проекции положительным, если составляющая силы направлена слева направо.) Знак «-» в уравнении (1.3.1) стоит из-за того, что Fx и а имеют противоположные знаки. При отклонении маятника вправо (а > 0) составляющая Fz силы тяжести направлена влево и ее проекция отрицательна: Fx < 0. При отклонении маятника влево (а < 0) эта проекция положительна: Fz > 0.
Согласно второму закону Ньютона
тат = FT,
Т X'
или
тах = -mg sin а. (1.3.2)
Разделив левую и правую части этого уравнения на т, получим:
ах =-g sin а. (1.3.3)
До сих пор считалось, что углы отклонения нити от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будем считать их малыми. При малых углах, если выражать угол а в радианах, sin а = а. Следовательно,
аг = -ga. (1.3.4)
Смещение шарика маятника от положения равновесия можно характеризовать не только углом, но и величиной, из- меряемой длиной дуги OA (см. рис. 1.8), взятой со знаком «+», если шарик смещается от положения равновесия вправо, и со знаком «-», если он смещается влево. Очевидно, что
а=|, (1.3.5)
где s — длина дуги OA.
Подставив в уравнение (1.3.4) это значение а, получим:
at = -fs. (1.3.6)
Введя обозначение
f=a)2, (1.3.7)
приходим к окончательному виду уравнения движения маятника при малых углах отклонения от положения равновесия:
ах = -cogs. (1.3.8)
Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение (1.2.6) движения шарика, прикрепленного к пружине. Здесь только вместо проекции ускорения ах стоит тангенциальное ускорение аг и вместо координаты х — величина s.
Да и cog зависит уже не от жесткости пружины и массы груза, а от ускорения свободного падения и длины нити. Но по-прежнему ускорение прямо пропорционально смещению (определяемому дугой) шарика от положения равновесия. Если бы мы в случае маятника обозначили тангенциальное ускорение через ах, а дугу через х, то оба уравнения (1.2.6) и (1.3.8) были бы неразличимы.Важное заключение. Мы пришли к замечательному выводу: уравнения движения, описывающие колебания таких различных систем, как груз на пружине и маятник, одинаковы. Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения груза на пружине и шарика маятника от положения равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. В первом случае это сила упругости, а во втором — составляющая силы тяжести.
Уравнение движения (1.2.6), как и уравнение (1.3.8), выглядит внешне очень просто: ускорение прямо пропорционально координате. Но решить его, т. е. определить, как меняется координата колеблющегося тела с течением времена, не просто. До сих пор в механике мы в основном рассматривали движение с постоянным ускорением. При колебаниях же ускорение меняется со временем, так как меняется сила, действующая на тело.