§1. Закулисная работа математической лшели.
В математическом мышлении следует различать два процесса: постановку проблемы и ее решение.
Первый процесс вовсе не сокращается до произвольного выбора. Научным математическим мышлением не может быть названо последовательное решение ряда уравнений, произвольно нами написанных.
Взятая для решения проблема не выбирается, а скорей разыскивается. Научную ценность она приобретает только тогда, когда она полезна для науки.Под пользой следует разуметь отнюдь не практическую жизненную пользу, а значение проблемы для стройности и простоты всей науки, как синтез различных дисциплин в том смысле, что решение этой пробле- мы может создать большую гармонию между различными ее частями указывая, что
иекоторые истины представляют только частные случае более общих,
что части, на первый взгляд, грубые и разнородные, имеют между собой интимную связь и, наконец,
что к уже открытым истинам через ряд новых проблем открыва-ется более простой и скорый путь.
Конечно, для успешной постановки подобного рода проблемы главным необходимым условием яшыется творческое воображение. Оценка проблемы предполагает иногда как бы наперед ее решение. Для того, чтобы утверждать, что данное положение служит звеном, связующим более кратким путем два положения, следует знать это положение.
Относительно положения: "все В суть D", мы не можем утверждать, что его свнзуст положение "А есть В и А есть С", раньше чем не узнаем, что все "D суть С". Таким образом, уже при самом выборе проблемы иногда необходимо делать гипотезу, необходима не точная цепь силлогизмов, а воображение.
Процесс разыскания решения поставленной проблемы начинается с составления гипотетического плана ее решения, разбивки ее на несколько частных вопросов, решение которых, по нашему расчету, приводит нас к решению интересующей нас проблемы. Так, при решении геометрической задачи на определение какой-либо геометрической величины через другие, мы рассчитываем прийти к определению неизвестного через последовательное определение других неизвестных.
Приступая к решению первого вопроса, а затем, в случае удачи, второго и всех остальных вопросов, мы первым делом прибегаем к памяти, стараясь подвести его, как частный случай, под уже известные нам проблемы.Только в случае неудачи, которая может явиться следствием как недостаточного запаса познаний, так и отсутствия вполне подходящих методов на современной стадии развития науки, мы приступаем к самостоятельному поиску решения. Если мы теперь проанализируем эти поиски, то увидим, что закулисная, сторона точного мышления носит совсем другой характер, чем тот ряд теорем в готовом и законченном виде, каждый член которого не колеблясь тянет последующие. Точный разум, двигающей эту цепь теорем, повернут спиной по направлению своего движения; он видит тот путь, который прошел, но не видит того, который ему следует пройти. Один он шел бы действительно вперед; из посылки он вполне точно выводил бы заключение, но он никогда бы не знал, куда идет, он не мог бы решить ни одной наперед поставленной задачи. Решение какой бы то ни было задачи, не подходящей прямо под общий случай, делающий решение чисто механическим, требует помощи гипотезирующего и колеблющегося разума. Мы делаем ряд попыток, более или менее удачных, при нахождении решения. Конечно, при выборе различных путей для решения мы не предоставлены вполне игре воображения, Главным двигателем здесь является аналогия. Если нам приходит в голову та или иная попытка, так именно потому, что она приносила успех в аналогичных случаях, Что же касается степени аналогии данного случая со случаем известным, то эта аналогия может быть весьма поверх-ностной. Если нам дано какое-либо дифференциальное уравнение, то, от-чаявшись подвести это уравнение под уже известные типы, мы стараемся проинтегрировать его, применяя различные методы, применявшиеся к ин-тегрированию других аналогичных дифференциальных уравнений. Но очевидно, что те аналогии, которые заставляют блуждающую мысль остановиться на той или другой методе, часто не идут дальше внешнего вида предложенного уравнения, Вполне естественно, если математику в тот момент, когда он убедится, что уравнение:
(а4х + b4)y<"> + (а,х + Ь^"-1' + ...
(ал_(х + Ьи)у'у' + (ах + b)у = О не подходит ни под один из известных ему типов дифференциальных уравнений, придет на мысль попытка интегрировать это уравнение подстановкой y=e"\ как линейное уравнение с постоянными коэффициентами, Конечно, такая мысль придет только вследствие чисто внешней аналогии формы этих двух весьма различных по своим свойствам уравнений.У опытного математика не будет детального проведения этой попытки, приводящей, конечно, к неудаче, Такая мысль пробежит в один момент поле его сознания, так как, при привычной ему быстроте в этой области соображения, неудача ему будет почти очевидна. Но начинающий воспроизведет все выкладки.
Возьмем более сложный пример. Известно, что эйлеровское уравнение
dx dy
№ " ДуГ
где R (х) полином 4-ой степени имеет алгебраический интеграл. Обобщение эйлеровских исследований на случай, когда R (х) полином какой угодно степени, может иметь интерес и значение для науки. Бесспорно, что не один исследователь, до развития теории ультра-эллиптических интегралов, делал попытки обобщения, при этом конечно он вполне доверялся построенной им гипотезе о возможности существования алгебраического интеграла у обобщенного эйлеровского уравнения. Приступая затем к интег-рированию такого уравнения, этот исследователь не обладал другим оружием, кроме заключения по аналогии, и конечно первой мыслью у него должна была бы явиться попытка применения к тому же уравнению тех методов, которые употреблял Эйлер для своего уравнения; эта попытка не увенчалась бы успехом, так как при производстве выкладок обнаружилось [бы], что успех методы Эйлера зависит от сокращения некоторых членов, которые не сократятся в общем случае, и поэтому в известном пункте цепь рассуждений обрывается. В этом примере мы видим не только ошибоч-
77
ностъ предположения, относящегося к методе решения предложенной проблемы, но и ошибочность сделанного предположения относительно результата, который придает главным образом ценность исследуемой проблеме.
Подобное описание механизма закулисной работы математической мысли согласно с показаниями математиков.
"В разговоре о роли воображения в научных трудах, - говорит Ли- бих, - один великий французский математик выразил мнение, что большинство математических истин приобретены не дедукцией, а воображением'".
Цитируя это место, Рибо1 справедливо замечает, что этот математик мог бы сказать "все", не сделав ошибки.
"Всякое математическое открытие - сперва гипотеза, которую следует доказать, т.е.
привести к общим принципам, предварительно установленным; перед решительным моментом рациональной проверки она только воображаема"...Мы со своей стороны должны сделать только следующую поправів эта гипотеза не только воображаема, она выбрана не пустой игрой во-ображения, она есть плод или аналогии, как мы упомянули выше, или индукции, как гипотеза эмпирической науки.
"Рассуждение, - говорит также Рибо, - это только средство контроля и проверки; оно преобразует труд воображения в следствия - допусти-мые и наличные. Если предварительно не воображали, метод без цели и без употребления, так как невозможно рассуждать о совершенно неизвестном.
Даже когда кажется, что проблема движется одна к решению одним рассуждением, воображение беспрестанно входит под формой ряда попыток...".