Критерии, основанные на известных вероятностях стратегий природы.

Иногда неопределенность ситуации удается в некоторой степени ослабить с помощью нахождения вероятностей состояний на базе данных статистических наблюдений.

Пусть вероятности состояний природы известны:

Если - среднее значение (математическое ожидание) выигрыша, которое игрок I стремится максимизировать, то

.

В качестве оптимальной стратегии выбирается та из стратегий , которая соответствует максимальному среднему значению выигрыша:

. (4.9)

Оптимальную стратегию при известных вероятностях состояний природы можно найти, используя показатель риска. Для этого необходимо определить среднее значение риска:

.

В качестве оптимальной стратегии в данном случае выбирается та, которая обеспечивает минимальное среднее значение риска:

.

Легко показать, что применение критериев среднего выигрыша и среднего риска для одних и тех же исходных данных приводит к одному и тому же результату, т.е. оптимальная стратегия, полученная при применении критерия оптимизации среднего выигрыша, совпадает с оптимальной стратегией, полученной по критерию минимизации среднего риска.

Чрезвычайно существенно то обстоятельство, что в случае известных вероятностей состояний природы , игроку I нет смысла пользоваться смешанными стратегиями.

Предыдущее рассмотрение относилось к случаю, когда вероятности состояний природы известны.

· принципа недостаточного основания Лапласа

,

который применяется тогда, когда ни одно состояние природы нельзя предпочесть другому;

· убывающей арифметической прогрессии - в том случае, если можно расположить состояния природы в порядке убывания их правдоподобности (вероятности свершения)

,

где

,

· использования оценки группы экспертов (например, в случае, когда необходимо оценить вероятности различных погодных условий, можно использовать данные метеорологических наблюдений за длительный период времени).

Рассмотрим использование информационных технологий поиска оптимальных стратегий в играх с природой для случая известных вероятностей ее состояний.

Пример 2.

Имеется три участка земли, отличающихся по степени влажности. Возможные стратегии сельскохозяйственного предприятия состоят в том, что оно может высаживать некоторую культуру на участках 1, 2 или 3. Урожайность на любом из трех участков, естественно, зависит от количества осадков, выпавших в период вегетации. Обозначим возможные варианты погодных условий (стратегии природы) через П1, П2 и П3, где П1 – соответствует выпадению осадков ниже нормы, П2 – нормальному количеству осадков, и П3 – количеству осадков ниже нормы.

Выигрыш сельскохозяйственного предприятия естественно ассоциировать с урожайностью культуры с 1 гектара. Платежная матрица, т.е. совокупность значений урожайности для каждой стратегии предприятия и природы, приведена ниже.

Пусть на основе обработки многолетних статистических данных о погодных условиях в данном регионе получены следующие значения вероятностей засушливого, нормального по количеству осадков и дождливого сезонов: .

Решение.

Введем данные на рабочий лист в соответствии с Рис. 4.3.

Рис. 4.3. Данные для решения примера 1.

В ячейку E3 введем формулу для определения среднего выигрыша

=СУММПРОИЗВ(B3:D3;$B$13:$D$13)

и скопируем ее в ячейки E4, E5. В ячейку E6 введем формулу для определения максимального среднего выигрыша =МАКС(E3:E5); наконец, в ячейку E7 введем логическую функцию, с помощью которой будет автоматически определяться оптимальная стратегия поведения предприятия:

=ЕСЛИ(И(E3>E4;E3>E5);A3;ЕСЛИ(И(E4>E3;E4>E5);A4;A5)).

В результате получим следующее решение задачи

В условиях полной неопределенности, в отличие от только что рассмотренного случая, используется ряд критериев, не требующих знания вероятностей состояний природы. Наиболее широко используемыми являются при этом критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.