А. Схема выбора, приводящая к сочетаниям

Если опыт состоит в выборе m элементов без возвращения и без упорядочивания, то различными исходами следует считать m-элементные подмножества множества E, имеющие различный состав.

C^m_n = n!/[m!(n - m)!] = n(n - 1)...(n - m + 1)/m!.

Для чисел C^m_n, называемых также биномиальными коэффициентами, справедливы следующие тождества, часто оказывающиеся полезными при решении задач:

C^m_n = C^n-m_n (свойство симметрии),

C^k_n+1 = C^k_n + C^k-1_n; C⁰_n = 1 (рекуррентное соотношение),

C⁰_n + C¹_n + ... + Cⁿ_n = 2ⁿ (следствие биномиальной формулы Ньютона).

Пример 1. Множество Е содержит 10 первых букв русского алфавита. Сколько различных алфавитов из трех букв можно составить из данного множества букв? Какова вероятность того, что случайно выбранный алфавит будет содержать букву «a»?

Решение Число различных алфавитов равно числу трехэлементных подмножеств множества Е (числу сочетаний из 10 элементов по 3): N(W) = C³₁₀ = 10?9?8/(1?2?3) = 120.

Пусть событие A - случайно выбранный алфавит из трех букв, содержащий букву «a». Число элементов множества А равно числу всех возможных способов отобрать две буквы из девяти (из десяти букв исключена буква «a»), т.е. равно числу сочетаний из 9 элементов по 2: N(A) = C²₉ = 9?8/2 = 36.

Таким образом, Р(A) = N(A)/N(W) = 36/120 = 0,3.