Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

§10. Функции

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между разными величинами.

Изучение зависимости между объектами состоит в том, что между ними устанавливается соответствие.

Определение 1. Соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу х множества Х соответствует единственный элемент у множества Y, называется функцией, заданной на множестве X со значением в множестве Y.

Функция обозначается при помощи латинской (а иногда греческой) буквы, например, буквы f.

Элемент х Î Х называется аргументом или независимой переменной функции f, а элемент y Î Y, соответствующий элементу х, называется значением функции f и обозначается f(х).

Множество Х называют областью определения функции f и обозначают D(f).

Множество, состоящее из всех значений функции f, называют областью (множеством) значений функции f и обозначают Е(f).

Заметим, что если у Î Е(f), то существует по крайней мере один такой х Î D(f), что f(х) = у.

Функцию f, заданную на множестве X со значениями в множестве Y, обозначают также следующим образом:

Определение 2. Две функции f и g называют равными (пишут f = g), D(f) = D(g) и f(х) = g(х) для каждого х из D(f).

Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств Х и Y, т.е. f Ì Х ´ Y, то говорят, что f есть отображение из Х в Y.

Если X = D(f) и Е(f) Ì Y, то говорят, что f есть отображение множества Х в Y.

Если X = D(f) и Y = Е(f), то говорят, что f есть отображение множества Х на Y.

Функции, заданные на некотором числовом множестве Х и принимающие числовые значения, называют числовыми функциями числового аргумента.

Функция считается заданной, если выполнены следующие два условия:

1) заданы два числовых множества Х и Y;

2) задан способ (правило), при помощи которого каждому числу х Î Х ставится в соответствие единственное число y Î Y.

Способы задания функции.

1. Аналитический, т. е. с помощью формулы. Если функция задана формулой и не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл. Иногда функция задается в области определения не одной формулой, а несколькими разными формулами. Например, функция

задана аналитическим способом на множестве действительных чисел при помощи трех разных формул.

2. Табличным способом.

3. Словесный. Пример. Функция f каждому квадрату со стороной а ставит в соответствие его площадь.S(a)=a2, a>0.

4. Графами.

5. Графический только для числовых функций числового аргумента.

Определение 3. Графиком функции , заданной на множестве Х, называется множество всех точек плоскости с координатами , где х Î D(f).

Заметим, для того чтобы некоторое множество точек плоскости являлось графиком какой–нибудь функции, необходимо, чтобы это множество имело не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.

Рис. 20 Рис. 21

Основные свойства функций.

Определение 4. Пусть функция задана на некотором множестве Х. Данная функция называется возрастающей (убывающей) на множестве Е Ì Х, если для любых х1 и х2 из множества Е, таких что х1 < х2, выполняется неравенство

.

Иначе: функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Е, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции (рис. 22).

Рис.22

Если же для любых значений х1, х2, взятых из некоторого множества Е Ì Х и удовлетворяющих условию х1 < х2, вытекает некоторое неравенство f(х1) £ f(х2) (или f(х1) ? f(х2)), то функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Е.

Определение 5. Функция называется четной (нечетной), если при изменении знака у любого значения аргумента, взятого из области определения функции, значения функции не изменяются (изменяют только знак), т.е. .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Определение 4. Функция называется периодической, если существует такое число l ? 0 (называемое периодом), что в каждой точке области определения функции выполняется условие .

Определение 7. Пусть функция определена и возрастает (убывает) на промежутке Х, а область значений функции есть промежуток Y. Каждому значению у0 из промежутка Y будет соответствовать одно значение х0 Î Х такое, что (рис. 23). Следовательно, на промежутке Y определена функция . Функция называется обратной для функции и, наоборот, функция является обратной для функции .

Рис. 23

Переход от функции к обратной функции сводится только к изменению роли множеств Х и Y. Поэтому графики функций и (как множества точек плоскости хОу) совпадают. Однако обычно и для обратной функции аргумент обозначают через х, а значения функции –– через у, то есть вместо пишут . Графики функции и обратной функции в этом случае будут симметричны относительно прямой у = х (рис. 24).

Рис. 24

Определение 8. Пусть y является функцией переменной u, а переменная u, в свою очередь, является функцией от переменной х, то есть и . Тогда функция называется функцией от функции (или сложной функцией), если область определения функции f содержит множество значений функции j. Переменная и в этом случае называется промежуточной переменной.

Основными элементарными функциями называются следующие: степенная функция , где a –– некоторое действительное число; показательная функция , где а >0, a≠1; логарифмическая функция , где где а >0, a≠1; тригонометрические функции y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.

<< | >>
Источник: Неизвестный. Лекции по высшей математике. 0000

Еще по теме §10. Функции:

  1. 1.1. Уголовное преследование как функция прокурора в уголовном процессе
  2. 2.4. Сексуальные дисфункции
  3. Институциональное планирование И проблема дисфункции институтов
  4. 4. ФУНКЦИИ ЮРИДИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
  5. Функция
  6. § 28. Уравнения касательной и нормали к графикуфункции
  7. §36. Наибольшее и наименьшее значения функциина отрезке
  8. § 2. Классификации функций государства:
  9. ФУНКЦИИ ПРАВА. СОЦИАЛЬНАЯ ЦЕННОСТЬ ПРАВА
  10. Тема 5. Функции государства
  11. 12.2. Содержание общесоциальных функций права