Контрольная работа № 4

Тема: Функции нескольких переменных. Кратные интегралы

181 – 190. Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

181. . 182. .

183. . 184. .

185. . 186. .

187. 188. .

189. . 190.

191 – 200. Даны функция и точка . С помощью полного дифференциала вычислить приближенно значение функции в данной точке. Вычислить точное значение функции в точкеM1 и оценить относительную погрешность вычислений.

191. ; .

192. ; .

193. ; .

194. ; .

195. ;

196. ; .

197. ; .

198. ; .

199. ; .

200. ; .

201 – 210. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x; y) в ограниченной замкнутой области D. Область D изобразить на чертеже.

201. Z = x2 – y2 + 3xy + 7; D: –2 £ x £ 2, –2 £ y £ 2.

202. Z = x2 + 2y2 – 1; D: x ? –2, – ? –2, x + y £ 4.

203. Z = 3 – x2 – xy – y2; D: x £ 1, y ? –1, x +1 ? y.

204. Z = x2 + y2 + x – y; D: x ? 1, y ? –1, x + y £ 2.

205. Z = x2 +2xy +2y2; D: –1 £ x £ 1, –1 £ y £ 3.

206. Z = 3x2 – 3xy +y2 + 1; D: x ? –1, y ? –1, x + y £ 1.

207. Z = 5 +2xy – x2; D: –1 £ y £ 4 – x2 .

208. Z = x2 – 2xy – y2 + x; D: x £ 0, y £ 1, x + y + 2 ? 0.

209. Z = x2 – xy – 2; D: 4x2 – 4 £ y £ 1.

210. Z = x2 + xy + 3y2; D: –1 £ x £ 1, –1 £ y £ 1.

211 – 220. Даны: функция трех переменных u = f (x, y, z), точка M0 (x0; y0; z0) и вектор (а1, а2,, а3) .

Найти:

1) grad u в точке М0;

2) производную в точке М0 по направлению вектора ;

211.

212. u = ln|3x2 – 2y + z| ; M0 (1; 1; 0); (0; 4; 3).

213. M0 (1; 1; 2); (–3; 0; 4).

214. M0 (1; 2; 2); (3; 0; –4).

215. M0 (2; 2; 1); (1; –2; 2).

216. u = ln|10 – x2 – y2 – z2|; M0 (2; 2; 1) ; (–4; 0; 3).

217. M0 (3; 4; 0) ; (2; –1; 2).

218. u = x2y2 + x2z2 + y2z2; M0 (–1; 2; 1) ; (0; 6; 8).

219. M0 (3; 4; 0) ; (2; 2; –1).

220. u = ln|12 – x2 – y2 + z|; M0 (1; 1; –5) ; (3; 0; –4).

221 – 230. Вычислить двойной интеграл по области D. Область интегрирования D изобразить на чертеже. Решить задачу вторым способом поменяв порядок интегрирования.

221. D: y = x2, y = 2 – x2.

222. D: x = 1, y = x2 , y = 0.

223. D: y = x, y = x3 , x ? 0 .

224. D: y = x2, y =.

225. D: x = 1, y =, y = –x2.

226. D: x = 1 , y = x2 , y = 0.

227. D: y = x2, y =.

228. D: x = 1, y = , y = –x3.

229. D: y = x, y =.

230. D : x = 1 , y = x2 , y = –.

231 – 240. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу.

Вычислить массу, координаты центра масс или момент инерции тела относительно одной из осей координат.

231). Определить массу пирамиды, образованной плоскостями если плотность в каждой ее точке равна аппликате , этой точки.

232). Определить массу тела, ограниченного поверхностями и , если плотность в каждой точке его равна аппликате этой точки.

233). Определить массу тела, ограниченного поверхностями

(при ), если плотность в каждой его точке равна ординате этой точки.

234). Определить центр масс однородного тела, ограниченного поверхностями

235). Определить центр масс однородного тела, ограниченного поверхностями

236). Определить центр масс однородного полушара

237). Определить момент инерции относительно оси тела, ограниченного поверхностями (плотность ):

238). Определить момент инерции относительно оси тела, ограниченного поверхностями (плотность ):

239). Определить момент инерции относительно оси тела, ограниченного поверхностями

240).Определить массу тела, ограниченного замкнутой поверхностью (плотность ):

241–250. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

241).

242)

243) (вне цилиндра)

244)

245)Коноида при

246)

247) (вне цилиндра)

248)

249)

250) .

Задания на контрольные работы № 5-8

для студентов-заочников II курса

специальностей

230201.65 Информационные системы и технологии (ИС)

220201.65 Управление и информатика в технических системах (УИ)