Свойства и применение определенных интегралов
Аддитивность (Рис. 17.1): .
Интеграл от функции, имеющий произвольный знак (Рис.
17.2). При построении интегральных сумм знак функции не имеет значения. Определение интеграла без изменений распространяется на функцию




Перемена пределов интеграла (Рис. 17.3). Целесообразно определить интеграл
и в случае, когда
. Получаем
.
Если , то
.
Теорема о среднем значении (Рис. 17.4). значение интеграла заключено между и
, где
и
‑ минимальное и максимальное значения функции
на отрезке
соответственно.

Если функция непрерывна, то внутри интервала
существует такая точка
, в которой функция принимает значение
. Следовательно,
.
Этот факт называют теоремой о среднем значении.
5.2.2 Площадь криволинейной фигуры
Площадь криволинейной (Рис. 17.5)трапеции
, ограниченной сверху графиком функции
слева и справа прямыми
и
соответственно, снизу осью
, вычисляется по формуле
. 5.2.3 Длина дуги кривой
Если линия задана параметрическими уравнениями , где
‑ дифференцируемые функции аргумента
, то дифференциал длины дуги выражается формулой
. Интегрируя это равенство по промежутку
, получаем формулу для вычисления длины дуги линии:
. 5.2.4 Объем тела. Площадь поверхности вращения
Если задана функция , определяющая площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси
, то его объем вычисляется по формуле
.