<<
>>

Свойства и применение определенных интегралов

5.2.1 Некоторые свойства определенных интегралов:

Аддитивность (Рис. 17.1): .

Интеграл от функции, имеющий произвольный знак (Рис.

17.2). При построении интегральных сумм знак функции не имеет значения. Определение интеграла без изменений распространяется на функцию , имеющую произвольный знак. В этом случае интеграл дает площадь криволинейной трапеции от до с минусом, а от до ‑ с плюсом. В результате мы получаем разность этих величин.

Перемена пределов интеграла (Рис. 17.3). Целесообразно определить интеграл и в случае, когда . Получаем .

Если , то .

Теорема о среднем значении (Рис. 17.4). значение интеграла заключено между и , где и ‑ минимальное и максимальное значения функции на отрезке соответственно.

Все интегральные суммы заключены в этих границах, а следовательно и интеграл:

Если функция непрерывна, то внутри интервала существует такая точка , в которой функция принимает значение . Следовательно, .

Этот факт называют теоремой о среднем значении.

5.2.2 Площадь криволинейной фигуры

Площадь криволинейной (Рис. 17.5)трапеции , ограниченной сверху графиком функции слева и справа прямыми и соответственно, снизу ­ осью , вычисляется по формуле . 5.2.3 Длина дуги кривой

Если линия задана параметрическими уравнениями , где ‑ дифференцируемые функции аргумента , то дифференциал длины дуги выражается формулой . Интегрируя это равенство по промежутку , получаем формулу для вычисления длины дуги линии: . 5.2.4 Объем тела. Площадь поверхности вращения

Если задана функция , определяющая площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси , то его объем вычисляется по формуле .

<< | >>
Источник: Гринберг А.С., Кастрица О.А., Скуратович Е.А.. Высшая математика. Курс лекций. Часть II: Курс лекций. ‑ Мн.:Академия управления при Президенте Республики Беларусь,2003. – 213 с.. 2003

Еще по теме Свойства и применение определенных интегралов:

  1. О СМЫСЛЕ ЧИСЕЛ
  2. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  3. Электродинамика Максвелла - Герца - Хевисайда
  4. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  5. Спрос и предложение у Жана
  6. Математические и логические "перлы" у Жана Тироля
  7. РАЗДЕЛ II ФОНЕТИКА СОВРЕМЕННОГО РУССКОГО ЯЗЫКА
  8. Содержание дисциплины
  9. Методы интегрирования.
  10. Интегрирование по частям.