5.1. Определение. Таблица интегралов.
Одной из задач предыдущей части курса было нахождение производной функции f(x) - новой функции f `(x). Сформулируем обратную задачу – найти функцию F(x), производная которой - заданная функция f(x).
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на отрезке [a, b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F`(x) = f(x).
Первообразная определяется с точностью до произвольной постоянной: [F(x) + C]` = f(x). Если F(x) – первообразная функции f(x), то функциями вида F(x) + C исчерпываются все первообразные функции f(x).
Если функция F(х) – первообразная функции f(x), то выражение F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
ò f(x)dx = F(x) + C (5.1),
где . f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение, ò – знак интеграла.
Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, геометрически – семейство кривых, каждая из которых получается сдвигом одной из кривых вдоль оси Оу.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существует первообразная (и неопределенный интеграл). (Теорема существования).
Нахождение первообразной функции f(x) называется интегрированием ее.
Отметим, что если производная элементарной функции также элементарная функция, то первообразная элементарной функции может оказаться и неэлементарной функцией.
Из определения первообразной следует:
1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т.е. если F`(x) = f(x), то и (òf(x)dx)` = f(x) (5.2).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению, т.е. d(òf(x)dx) = f(x)dx (5.3).
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная òF(x) dx = F(x) + C (5.4).
Несложно показать, что справедливы и следующие свойства:
4.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен сумме интегралов от них: ò[f1(x) + f2(x)]dx = òf1(x)dx + òf2(x)dx (5.5).5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а = const, то òaf(x)dx = aòf(x)dx (5.6).
6. Если òf(x)dx = F(x) + C и u = j(x), то òf(u)du = F(u) + C (5.7).
Используя таблицу производных и соотношения (5.2) – (5.7) несложно получить таблицу интегралов от простейших функций.
 при a ? –1 (5.8)
|  (5.15) |
 (5.9)
|  (5.16)
|
 (5.10)
|  (5.16`)
|
 (5.11)
|  (5.17)
|
 (5.12)
|  (5.17`)
|
 (5.13)
|  (5.18)
|
 (5.14)
|  (5.18`)
|
Приведем еще две формулы, справедливость которых можно проверить дифференцированием.
(5.19) 
(5.20)
Интегрирование в случаях, когда удается сразу воспользоваться табличными интегралами, называют непосредственным.
Чаще подинтегральную функцию приходится преобразовывать, чтобы свести исходный интеграл к одному или нескольким табличным. Один из эффективных приемов – метод подстановки: в интеграле вида òf(x)dx делают замену переменной, положив x = j(t) (j(t) – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию). Тогда dx = j`(t)dt и òf(x)dx = òf(j(t))j`(t)dt. Подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х (возвращение к исходной переменной). Функцию j(t) следует выбирать так, чтобы вычисление интеграла в правой части было максимально простым. Поясним на примере:
. Положим х = аt, откуда dx = аdt, t=x/a.. Исходный интеграл примет вид 
= =
= [см (5.17)] = 
= 
Т.о.
(5.17`).
Иногда удобнее применять замену переменной вида t = y(x). Вычислим 
[cosx = t; sinxdx = –dt] =
= 
.
Контрольные вопросы.
1) Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое.
2) Что называется неопределённым интегралом? Каков его геометрический смысл и основные свойства?
3) Постройте кривые семейства 
, проходящие через точки М1(2,1), М2(2,2), М3(2,3).
4) Каковы основные методы интегрирования функций?
5) Укажите целесообразные подстановки для отыскания интегралов: 
Тест 21.
Найти неопределённые интегралы 1) 
; 2) 
и указать верный ответ:
1) а) 
б) 
2) а) 
; б) 
.