Задать вопрос юристу

§ 40. Первообразная и неопределённый интеграл

Основной задачей диффереЕщиального исчисления является нахождение по данной функции ее производной. Рассмотрим теперь обратную задачу; дана функция, требуется найти такую функцию, производная которой была бы равна данной.
Определение- Функция ^(я) называется первообразной от функции f[x) на отрезке [а,Ь]г если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F'M - /(я).
Пример.
Найти первообразную от функции j(x) = т, Решение. Из определения первообразной следует, что функция Р(х) = п:3/2 является первообразной от функции — х: так как (Xі/2)* =:rt но совершенно очевидно, что этому условию удовлетворяет
и функция F('x) = — -f С> где С — произвольная постоянная, причём
то обстоятельство, что функция F(e) == у 4- С исчерпывает все пер-вообразные от функции f(x) - х, доказывает следующая теорема.
Теорема 20. Если F(x) и Ф(х) — две первообразные от функции f(x) на отрезке fa,bj, то разность между ними равна постоянной.
Доказательство. По определению первообразной F*(x) = f(x) и Ф'(х) = f(x) при любом значении х на отрезке [а,Ь], Тогда F'(x) — - ф'{х) = f ix) - f(x) = 0, так как F'(as) - - [F(ar) - Ф(®)]' = О, то F(a?) - Ф(я) = С (см. § 29)._Теорема доказана.
Таким образом, если i^fa:) — одна из первообразных функций от функции f(x) на отрезке [а, Ь], то любая первообразная Ф(х) от функции f(x) на отрезке [с, i?j имеет вид: Ф(х) - F(x) + С, где С — произвольная постоянная. Следовательно, выполнена одна из основных задач интегрального исчисления, которая состоит не только в том, чтобы найти для данной функции лишь некоторую первообразную, а в том, чтобы найти асе её первообразные, *
Определение. Если функция F(x) является первообразной для функции /(я), то выражение + С называется неопределённым
интегралом от функции f(x) и обозначается символом f{x) dx.
Таким образом, по определению j ffa)dx = F(r) + G, если i^'fr) - _ j(xy _ называется подынтегральной функцией, f(x)dx —
подынтегральным выражением, знак J" - знаком интеграла, Процесс нахождения первообразной от данной функции f(x) называется инте-грированием.
Основные свойства неопределенного Интеграла.
I Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
если F'(x) = f(x)jrTO
О
'"Лх)dxV - (F(x) + С)' = П*) = №)¦
Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению
= ^ Д®)*^ dz = f(x)dx.
Неопределённый интеграл or дифференциала некоторой функции раеСЕЗ этой функции плюс произвольная постоянная:
J dF(x)-^F{x)^-a
Действительно, поскольку dF(x) « F'{z)dx, то
[ dF(x) - j Ґ(х) dx = F{x) + a
Ho (F(J-) + С)' — что совпадает с подынтегральной функцией.
Свойства 2 и 3 показывают, что действия интегрировании н дифференцирования взаимно обратньз.
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или Нескольких функций равен сумме их интегралов
J [/і (xj ± h(x)} dx » [ fx {x) dx ± J Mx) dx.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, если С — постоянная, то
| О ¦ f{x) — С j f(x)dx.
В правильное™ последних двух свойств легко убедиться» если продиф-ференцировать обе части,
6 Теорема 21. Если функция fix) непрерывна на отрезке то для этой функции на отрезке [а. 6] существует первообразная, а, значит, и неопределённый тггеграл.
Таблица интегралов. Выпишем таблицу интегралов от простейших функций. Справедливость каждой формулы легко проверить, используя свойства неопределённого интеграла (производная правой части должна равняться подынтегральной функции).
г .
ни
295
Основные методы интегрирования
.ІГ+1
JV'ffr = +С, пф-l- f + jo
J ^ - Jidjp^jnM + a
j sinx dx ~ — coax С.
4- J оод,т ch: = ріп x + C. f-^ ^tg n-C,
J cos JC
[ — - ctg x + C. J sin x
I tgxdx я - In I cos 11 + C,
J ctgrrfx =5 Ід I sin леї + C.
JVife^ ^ jVЗ 0. f д - * arctg - + f -fo-y — arctg ж + С.
J йЧї а й і 1+я
dj:
a *+- 11 a — x \
tli^ » wfc , jT—#
¦ - — ^ ¦¦ = arcsm - +C. \/a2 - a
dx
ijfb
Для успешного освоения курса интегрального исчисления таблицу интегралов надо знать наизусть.
13,
<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 40. Первообразная и неопределённый интеграл:

  1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла.
  2. §1. Первообразная и неопределенный интеграл.
  3. Свойства неопределенного интеграла. Простейшие неопределенные интегралы
  4. Неопределенный интеграл
  5. Неопределенный интеграл
  6. 4.1. Понятие неопределённого интеграла
  7. Неопределенный интеграл.
  8. Глава 5. Неопределенный интеграл.
  9. Существование первообразной
  10. 19. Первообразная аналитической функции
  11. Первообразная функция.
  12. § 126. Первообразные предлоги
  13. Лабораторная работа № 11 Первообразные корни и индексы.
  14. 5. Неопределенность () следует преобразовать в неопределенность .