<<
>>

§ 40. Первообразная и неопределённый интеграл

Основной задачей диффереЕщиального исчисления является нахождение по данной функции ее производной. Рассмотрим теперь обратную задачу; дана функция, требуется найти такую функцию, производная которой была бы равна данной.

Определение- Функция ^(я) называется первообразной от функции f[x) на отрезке [а,Ь]г если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F'M - /(я).

Пример.

Найти первообразную от функции j(x) = т, Решение. Из определения первообразной следует, что функция Р(х) = п:3/2 является первообразной от функции — х: так как (Xі/2)* =:rt но совершенно очевидно, что этому условию удовлетворяет

и функция F('x) = — -f С> где С — произвольная постоянная, причём

то обстоятельство, что функция F(e) == у 4- С исчерпывает все пер-вообразные от функции f(x) - х, доказывает следующая теорема.

Теорема 20. Если F(x) и Ф(х) — две первообразные от функции f(x) на отрезке fa,bj, то разность между ними равна постоянной.

Доказательство. По определению первообразной F*(x) = f(x) и Ф'(х) = f(x) при любом значении х на отрезке [а,Ь], Тогда F'(x) — - ф'{х) = f ix) - f(x) = 0, так как F'(as) - - [F(ar) - Ф(®)]' = О, то F(a?) - Ф(я) = С (см. § 29)._Теорема доказана.

Таким образом, если i^fa:) — одна из первообразных функций от функции f(x) на отрезке [а, Ь], то любая первообразная Ф(х) от функции f(x) на отрезке [с, i?j имеет вид: Ф(х) - F(x) + С, где С — произвольная постоянная. Следовательно, выполнена одна из основных задач интегрального исчисления, которая состоит не только в том, чтобы найти для данной функции лишь некоторую первообразную, а в том, чтобы найти асе её первообразные, *

Определение. Если функция F(x) является первообразной для функции /(я), то выражение + С называется неопределённым

интегралом от функции f(x) и обозначается символом f{x) dx.

Таким образом, по определению j ffa)dx = F(r) + G, если i^'fr) - _ j(xy _ называется подынтегральной функцией, f(x)dx —

подынтегральным выражением, знак J" - знаком интеграла, Процесс нахождения первообразной от данной функции f(x) называется инте-грированием.

Основные свойства неопределенного Интеграла.

I Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F'(x) = f(x)jrTO

О

'"Лх)dxV - (F(x) + С)' = П*) = №)¦

Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

= ^ Д®)*^ dz = f(x)dx.

Неопределённый интеграл or дифференциала некоторой функции раеСЕЗ этой функции плюс произвольная постоянная:

J dF(x)-^F{x)^-a

Действительно, поскольку dF(x) « F'{z)dx, то

[ dF(x) - j Ґ(х) dx = F{x) + a

Ho (F(J-) + С)' — что совпадает с подынтегральной функцией.

Свойства 2 и 3 показывают, что действия интегрировании н дифференцирования взаимно обратньз.

Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или Нескольких функций равен сумме их интегралов

J [/і (xj ± h(x)} dx » [ fx {x) dx ± J Mx) dx.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, если С — постоянная, то

| О ¦ f{x) — С j f(x)dx.

В правильное™ последних двух свойств легко убедиться» если продиф-ференцировать обе части,

6 Теорема 21.

Если функция fix) непрерывна на отрезке то для этой функции на отрезке [а. 6] существует первообразная, а, значит, и неопределённый тггеграл.

Таблица интегралов. Выпишем таблицу интегралов от простейших функций. Справедливость каждой формулы легко проверить, используя свойства неопределённого интеграла (производная правой части должна равняться подынтегральной функции).

г .

ни

295

Основные методы интегрирования

.ІГ+1

JV'ffr = +С, пф-l- f + jo

J ^ - Jidjp^jnM + a

j sinx dx ~ — coax С.

4- J оод,т ch: = ріп x + C. f-^ ^tg n-C,

J cos JC

[ — - ctg x + C. J sin x

I tgxdx я - In I cos 11 + C,

J ctgrrfx =5 Ід I sin леї + C.

JVife^ ^ jVЗ 0. f д - * arctg - + f -fo-y — arctg ж + С.

J йЧї а й і 1+я

dj:

a *+- 11 a — x \

tli^ » wfc , jT—#

¦ - — ^ ¦¦ = arcsm - +C. \/a2 - a

dx

ijfb

Для успешного освоения курса интегрального исчисления таблицу интегралов надо знать наизусть.

13,

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 40. Первообразная и неопределённый интеграл:

  1. § 40. Первообразная и неопределённый интеграл
  2. § 49. Несобственные интегралы
  3. Вопросы для самопроверни
  4. 5.1. Определение. Таблица интегралов.
  5. 5.6. О «неберущихся» интегралах
  6. 4.1. Понятие неопределённого интеграла
  7. 4.3. Определённый интеграл и его свойства.
  8. Существование первообразной
  9. Неопределенный интеграл