<<
>>

§ 2 УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ МАТРИЦЫ А"

Для исследования условий сходимости матрицы Лт, о которой говорилось в предыдущем параграфе, воспользуемся следующей теоремой линейной алгебры. Матрица Ат стремится к нулевой матрице при оо, если все характеристические корни матрицы имеют абсолютное значение, меньшее 1.
Напомним, что характеристическими корнями матрицы А называются числа Л, для которых при хФО справедливо векторное уравнение
Ах = 1х, (3.6)
Это уравнение можно также записать в следующем виде:
(А — Х1)х = 0< (3.7)
Векторное уравнение (3.6) или (3.7) представляет собой систему однородных линейных уравнений и имеет не все решения, равные нулю, если определитель матрицы коэффициентов этой системы равняется нулю, то есть если
\А — Л/| = 0с (3.8)
Это характеристическое уравнение матрицы А; числа Я, для которых оно справедливо, являются характеристическими шрнямй матрицы.
Умножая слева обе стороны уравнения (3.6) на матрицу Л, получим:
А2х = 1Ах, то есть А2х==1(кх)у
откуда
А?х == А,2лг.
Последнее уравнение удовлетворяется, если определитель
I A2 — W 1 = 0. (3.9)
Действуя далее подобным же образом, находим, что характеристическое уравнение матрицы Ат имеет вид Атх=Хтх и является справедливым, если определитель
| Ат — %т11 = 0. (3.10)
6 О. Ланг$
Из уравнения (3.10) следует, что характеристические корни матрицы Ат являются m-ми степенями характеристических корней матрицы А. Из уравнения Атх=Хтх при векторе хФО следует, что Ат стремится к нулю, если стремится к нулю, и обратно, %т стремится к нулю, если Ат стремится к нулю. Следовательно, необходимым и достаточным условием того, чтобы 0 при т->оо, является, чтобы при
т->оо. Это условие удовлетворяется в том и только в том случае, если |А*|<1.
Отсюда следует, что необходимое и достаточное условие сходимости ряда /+Л+Л2+Л3+ ... заключается в том, чтобы все характеристические корни матрицы Ат имели абсолютное значение, меньшее 1.
Поскольку характеристические корни матрицы Л и транспонированной матрицы А' одинаковы, то указанное условие определяет и сходимость ряда /+Л'+
+ (Л7)2 + (Л/)3+... .
Выясним экономический смысл условия |Я{|<1. На основе уравнения (3.6) можно установить, что Атх=КАт-1х. Поэтому решение (3.5) можно записать как
*«Н-( 1+Я + Я2 + ...)Ау.
Если |Я|<1, то абсолютные значения последовательных приращений валового продукта уменьшаются с коэффициентом |Я|. Таким образом, абсолютные значения характеристических корней %і являются коэффициентами уменьшения последовательных приращений валового продукта в цепи обратной связи.
<< | >>
Источник: О. Ланге. ВВЕДЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКУЮ КИБЕРНЕТИКУ. Перевод с польского. Издательство "ПРОГРЕСС" Москва. 1968. 1968

Еще по теме § 2 УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ МАТРИЦЫ А":

  1. 2.2.6 Оценка скоростей обучения
  2. § 2 УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ МАТРИЦЫ А"
  3. Содержание дисциплины
  4. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  5. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  6. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
  7. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  8. 2. Конечноразностные методы
  9. 3. Вариационные методы
  10. 5. Методы интегральных тождеств
  11. 4. Методы расщепления для прикладных задач математической физики
  12. Экзаменационные вопросы:
  13. 2.2. Метод простой итерации
  14. 2.3. Метод Зейделя
  15. 4.3. Метод простых итераций.
  16. 5.2.2. Метод Ньютона–Рафсона.