1.3. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Нелинейные зависимости и их преобразования.
При изучении взаимосвязей между переменными часто возникают регрессионные зависимости
у = f (b, u) + є = f (b, X1, X2,..., xfc) + є, (51)
в которых функция f не линейна по одной или нескольким объясняющим переменным, но линейна по параметрам.
На практике используются степенная, логарифмическая, показательная и обратная зависимости. Так, например, степенная зависимость задается формулой у = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bk xk + є. Изучение этой зависимости может быть сведено к множественной линейной регрессии, в которой полагаем, что x1 = x, x2 = x2,...,xk = xk. Для логарифмической зависимости у = b0 + b1 ln x + є можно использовать новую переменную x1 = ln x. Показательная зависимость у = b0 + b1 exp(x) + є переходит в линейную при замене x1 = exp(x). Обратная зависимость у = b0 + b1/x + є преобразуется в линейную путем замены x1 = 1/x,К нелинейным зависимостям относятся регрессионные зависимости, задаваемые с помощью аналогов производственных функций у = а xf xYY -є+, где є+ > 0 - случайная составляющая. Эта зависимость сводится к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения ln у = ln а + в ln x1 + Y ln x2 + ln є+ и переобозначения переменных.
В общем случае преобразование и замена переменных не всегда упрощает нелинейные зависимости и сводит их к линейным. Более того, нужно иметь в виду, что указанные замены могут привести к нарушениям основных предпосылок МНК. Это в свою очередь может поставить под сомнение результаты расчетов.